calcular a derivada e o dominio de uma integral

[aluno20000]

Boa noite,

Alguem me pode explicar este exercicio, por favor? Não estou a conseguir chegar à solucao.

Muito obrigado!

Anexos

[PierreQuadrado]

Em relação ao domínio, deve pensar do seguinte modo: para que valores de x é possível calcular o valor da função? Ou seja, para que valores de x existe o integral dado? A função integranda é contínua para qualquer \(t \ne -2\) e, caso o ponto -2 pertença à região de integração obtemos um integral impróprio divergente. Assim, o integral estará bem definido desde que \(-2 \notin [0, 2x]\), ou seja, \(x > -1\), pelo que \(D_F = ]-1, +\infty[\). Quanto à função derivada, basta utilizar o teorema fundamental do cálculo

\(F'(x) = (2x)' \dfrac{e^{2x}}{2x+2} = \dfrac{e^{2x}}{x+1}\).

[aluno20000]

Em relação ao domínio, deve pensar do seguinte modo: para que valores de x é possível calcular o valor da função? Ou seja, para que valores de x existe o integral dado? A função integranda é contínua para qualquer \(t \ne -2\) e, caso o ponto -2 pertença à região de integração obtemos um integral impróprio divergente. Assim, o integral estará bem definido desde que \(-2 \notin [0, 2x]\), ou seja, \(x > -1\), pelo que \(D_F = ]-1, +\infty[\). Quanto à função derivada, basta utilizar o teorema fundamental do cálculo

\(F'(x) = (2x)' \dfrac{e^{2x}}{2x+2} = \dfrac{e^{2x}}{x+1}\).

Já percebi. Muito obrigado!