primitiva com nepper, raizes cubicas e divisoes

[igor9]

Boa noite,
Nao estou entendendo primitiva, saiu esse exercicio no exame do ano passado, como resolver?

a)\(\int\frac{ e^{x}}{\sqrt[3]{3e^{x}-1}}dx\)


b)\(\int \frac{x+2}{x^{3}-x}dx\)

Obrigado desde já

[Sobolev]

Veja por exemplo a), que é uma primitiva imediata usando a primitiva de uma potência:
\(\int \frac{e^x}{\sqrt[3]{3e^x-1}} dx = \int e^x (3e^x-1)^{-1/3} dx = \int \frac 13 (3 e^x - 1)' (3e^x-1)^{-1/3}dx =\frac 13 \frac{(3e^x-1)^{-1/3+1}}{-1/3+1} + C = \frac 12 ()3e^x-1)^{2/3} + C\)

[danko71]

\(\int \frac{x+2}{x^3-x}dx\\ \frac{x+2}{x^3-x}=\frac{x+2}{x(x+1)(x-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-1}\\ x+2=A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)=>\\ A=-2,\ B=\frac{1}{2},\ C=\frac{3}{2}\\ \int \frac{x+2}{x^3-x}dx=\int \left ( \frac{-2}{x}+\frac{1/2}{x+1}+\frac{3/2}{x-1} \right )dx=-2\int \frac{dx}{x}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}+\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-1}\\ =-2ln\left | x \right |+\frac{1}{2}ln\left | x+1 \right |+\frac{3}{2}ln\left | x-1 \right |+C\)