Calculo de integral usando frações parciais [resolvida]
24 set 2016, 21:01
\(\int \frac{x^2+1}{x^4+1}\)
Não estou conseguindo montar os denominadores para usar o método de frações parciais
Não estou conseguindo montar os denominadores para usar o método de frações parciais
Re: Calculo de integral usando frações parciais
25 set 2016, 11:34
pelo aspeto diria que isso dará uns arcos de tangente
\(\int \frac{u'}{1+u^2}=arctg (u)+C\)
as frações parciais aplicam-se, normalmente, quando o grau do polinómio do numerador é superior ao do denominador.
mas confesso que de repente não estou a ver
\(\int \frac{u'}{1+u^2}=arctg (u)+C\)
as frações parciais aplicam-se, normalmente, quando o grau do polinómio do numerador é superior ao do denominador.
mas confesso que de repente não estou a ver
Re: Calculo de integral usando frações parciais
25 set 2016, 21:08
Obrigada, nesse caso o exercício pede que seja resolvido usando frações parciais.
Re: Calculo de integral usando frações parciais
26 set 2016, 11:22
O denominador pode ser factorizado como o produto de dois polinómios do segundo grau sem raizes reais... Assim
\(\dfrac{x^2+1}{x^4+1} = \dfrac{x^2+1}{(x^2+\sqrt{2}x + 1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} = \frac{A}{x^2+\sqrt{2}x + 1}+\frac{B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\)
Pode ver facilmente que \(a=B=1/2\)...
Por outro lado,
\(\int \frac{1}{x^2-\sqrt{2} x +1} dx = \int \frac{1}{\frac 12 + (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} dx\)...
Consegue concluir?
\(\dfrac{x^2+1}{x^4+1} = \dfrac{x^2+1}{(x^2+\sqrt{2}x + 1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} = \frac{A}{x^2+\sqrt{2}x + 1}+\frac{B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\)
Pode ver facilmente que \(a=B=1/2\)...
Por outro lado,
\(\int \frac{1}{x^2-\sqrt{2} x +1} dx = \int \frac{1}{\frac 12 + (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} dx\)...
Consegue concluir?
Re: Calculo de integral usando frações parciais
27 set 2016, 13:09
Fantástico caro Sobolov, você é um génio, ou melhor dizendo, um verdadeiro Sobolev 
Re: Calculo de integral usando frações parciais
27 set 2016, 17:53
Não é caso para tanto João P. Ferreira!
Como as raizes complexas de polinómios com coeficiente reais aparecem sempre aos pares, qualquer polinómio pode ser factorizado usando potências de monómios (raizes reais de diversas multiplicidades) e potências de polinómios de grau 2 sem raizes reais (raizes complexas de diversas multiplicidades). As frações parciais assentam nesta decomposição, se bem que alguns dos casos não apareçam com tanta frequência.
Como as raizes complexas de polinómios com coeficiente reais aparecem sempre aos pares, qualquer polinómio pode ser factorizado usando potências de monómios (raizes reais de diversas multiplicidades) e potências de polinómios de grau 2 sem raizes reais (raizes complexas de diversas multiplicidades). As frações parciais assentam nesta decomposição, se bem que alguns dos casos não apareçam com tanta frequência.
Re: Calculo de integral usando frações parciais
27 set 2016, 19:25
Não sei se dá pra entender mas segue:
- Anexos
-
Re: Calculo de integral usando frações parciais
27 set 2016, 22:23
Muito obrigada a todos consegui entender
Re: Calculo de integral usando frações parciais
01 Oct 2016, 20:57
Sobolev Escreveu:Não é caso para tanto João P. Ferreira!
Como as raizes complexas de polinómios com coeficiente reais aparecem sempre aos pares, qualquer polinómio pode ser factorizado usando potências de monómios (raizes reais de diversas multiplicidades) e potências de polinómios de grau 2 sem raizes reais (raizes complexas de diversas multiplicidades). As frações parciais assentam nesta decomposição, se bem que alguns dos casos não apareçam com tanta frequência.
Exatamente
Como \(x^4+1\) não tem raízes reais, confesso que "congelei" logo aqui, pois não me ocorreu fatorizar em dois polinómios de grau 2. Obrigado