Comprovar o resultado de uma Integral Definida
04 jul 2016, 00:01
Olá pessoal, estou com uma lista de exercicio da disciplina sinais e sistemas e me deparei com a seguinte questão:
se f é uma função par e contínua no intervalo [-a,a] então:
Gostaria de saber como eu faço pra chegar no resultado, se possível digam o passo a passo e quais regras eu devo usar, e fundamental saber isso na disciplina.
se f é uma função par e contínua no intervalo [-a,a] então:
Gostaria de saber como eu faço pra chegar no resultado, se possível digam o passo a passo e quais regras eu devo usar, e fundamental saber isso na disciplina.
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Re: Comprovar o resultado de uma Integral Definida
12 Oct 2016, 17:14
Olá!
Sabemos que uma função par está definida quando \(\mathsf{f(x) = f(- x), \forall x \in dom f}\).
Seja \(\mathsf{F(x) = \int_{- a}^{a} f(x) \ dx}\). Como a função é par, temos que: \(\mathsf{f(x) = f(- x)}\). Quanto à função \(\mathsf{F(x)}\), será uma função ímpar (Ver paridade de funções).
Em se tratando de função ímpar, sabemos que: \(\mathsf{F(x) = - F(- x), \forall x \in dom f}\).
Com efeito,
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = \int_{- a}^{0} f(x) \ dx + \int_{0}^{a} f(x) \ dx}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = F(0) - F(- a) + [F(a) - F(0)]}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = \cancel{F(0)} \underbrace{- \mathsf{F(- a)}}_{F(a)} + F(a) - \cancel{F(0)}}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = F(a) + F(a)}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot F(a)}\)
\(\fbox{\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx}}\)
Considere, como exemplo, \(\mathsf{f(x) = x^2}\). Veja o que acontece:
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} x^2 \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} x^2 \ dx}\)
\(\mathsf{\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{- a}^{a} = 2 \cdot \left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{a}}\)
\(\mathsf{\frac{a^3}{3} - \frac{(- a)^3}{3} = 2 \cdot \left ( \frac{a^3}{3} - 0 \right )}\)
\(\mathsf{\frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{3} = 2 \cdot \frac{a^3}{3}\)
\(\mathsf{\frac{2a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}\)
Como pode notar a igualdade é verdadeira!
Sabemos que uma função par está definida quando \(\mathsf{f(x) = f(- x), \forall x \in dom f}\).
Seja \(\mathsf{F(x) = \int_{- a}^{a} f(x) \ dx}\). Como a função é par, temos que: \(\mathsf{f(x) = f(- x)}\). Quanto à função \(\mathsf{F(x)}\), será uma função ímpar (Ver paridade de funções).
Em se tratando de função ímpar, sabemos que: \(\mathsf{F(x) = - F(- x), \forall x \in dom f}\).
Com efeito,
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = \int_{- a}^{0} f(x) \ dx + \int_{0}^{a} f(x) \ dx}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = F(0) - F(- a) + [F(a) - F(0)]}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = \cancel{F(0)} \underbrace{- \mathsf{F(- a)}}_{F(a)} + F(a) - \cancel{F(0)}}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = F(a) + F(a)}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot F(a)}\)
\(\fbox{\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx}}\)
Considere, como exemplo, \(\mathsf{f(x) = x^2}\). Veja o que acontece:
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx}\)
\(\mathsf{\int_{- a}^{a} x^2 \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} x^2 \ dx}\)
\(\mathsf{\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{- a}^{a} = 2 \cdot \left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{a}}\)
\(\mathsf{\frac{a^3}{3} - \frac{(- a)^3}{3} = 2 \cdot \left ( \frac{a^3}{3} - 0 \right )}\)
\(\mathsf{\frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{3} = 2 \cdot \frac{a^3}{3}\)
\(\mathsf{\frac{2a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}\)
Como pode notar a igualdade é verdadeira!