andremazzari Escreveu:Obrigado pela resposta, mas teve alguns passos que não consegui entender.
No passo 7, nao consegui chegar que \(n^{p-1}-n^{p-2}+n^{p-3}-\cdots%20+n^2-n+1\ge%20n+1\). Tentei mostrar isso por indução mas não consegui.
E se for assim já consegue: \((n^{p-1}-n^{p-2})+(n^{p-3}-n^{p-4})+\cdots +n^2-n+1\ge n^2-n+1 = (n-1)n+1 \ge n+1\) (lembre-se que \(p\ge 3\) e \(n\ge 2\)).
No passo 10, nao consegui concluir que m deve ser múltiplo de n.
\((n+1)^m-n^{n+1}=1 \Leftrightarrow \sum_{i=0}^m{m\choose i}n^{i} =n^{n+1}+1 \Leftrightarrow 1+mn+\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i} =n^{n+1}+1 \Leftrightarrow m=n^{n}-\left(\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i-1}\right) =n\left[n^{n-1}-\left(\sum_{i=2}^{m}{m\choose i}n^{i-2}\right)\right]\).
Também nao consegui entender como se chegou nas conclusões dos passos 11 e 12.
passo11: \(m\ge 2n \Rightarrow (n+1)^m\ge (n+1)^{2n}\ge n^{2n}+1> n^{n+1}+1\), note que \(n>1 \Rightarrow 2n>n+1\). Logo se m é múltiplo de n (passo10) então m=n.
Passo12: Considerando n>2, \((n+1)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}n^{n-i}=n^n+nn^{n-1}+\left(\sum_{i=2}^{n-1}{n\choose i}n^{n-i}\right)+1 < 2n^n+\left(\sum_{i=2}^{n-1}n^n\right)+1 = 2n^n+(n-2)n^n +1=n^{n+1}+1\). Note que, para i>1, \({n\choose i}=\frac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{i!}<n^i\) logo \({n\choose i}n^{n-i}<n^n\).
Se voce puder detalhar e desenvolver mais esses passos eu agradeceria muito.
Obrigado mais uma vez.
De nada.