Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde

Poderiam me ajudar a solucionar essa questão?

Qual é o menor número que tem a propriedade de ficar com seus dígitos invertidos
quando multiplicado por 9?


Grato

Oi, exercício intrigante!

Eu tentei com números de 2 e 3 dígitos e não encontrei uma solução.

Vamos ver como fica com números de 4 dígitos, na forma \(ABCD\):

O exercício diz que \(9 \cdot ABCD = DCBA\)

Então \(9D = A + 10(D-1)\) de onde sai que \(A+D = 10\) e os pares possíveis são \((1,9), (2,8), (3,7), ...\)

Como pede o menor número vamos assumir \(A=1\) e \(D=9\)

Voltando a \(9 \cdot ABCD = DCBA\) podemos somar \(ABCD\) aos dois lados da igualdade e obteremos:

\(10 \cdot ABCD = ABCD + DCBA\) ou seja \(ABCD0 = ABCD + DCBA\)

Fazendo esta soma, como sabemos que \(A+D = 10\) então \(C+B+1 = D\) então \(B+C=8\).

Ainda pelas características dos dígitos, temos que na terceira casa da soma \(B+C=C\), de onde sai \(B=0\) e assim, \(C=8\).

Portanto o número pedido é \(ABCD = 1089\).

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Fraol
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Pode utilizar a expansão decimal... Por exemplo, se o número tiver dois dígitos pode escrever \(n = a_0 + 10 a_1\), em que \(a_0, a_1\) são os dígitos de n na sua expansão decimal. Para um inteiro com dois dígitos verificar a condição proposta deveríamos ter

\(9(a_0 + 10 a_1)= a_1 + 10 a_0,\)

o que levaria a \(89 a_1 = a_0\), que não tem nenhuma solução dado que ambos os dígitos são inteiros entre 0 e 9. Do mesmo modo também pode ver que não existe nenhuma solução com três dígitos. Com quatro dígitos deveríamos ter

\(9*(a_0+10a_1+100a_2+1000 a_3)= a_3 + 10 a_2 + 100 a_1 + 1000 a_0 \Leftrightarrow
8999 a_3 + 890 a_2 = 10 a_1 + 991 a_0\)

Olhando para o algarismo da unidades em ambos os lados da igualdade anterior, vemos que se deve ter \(a_0 = 10 - a_3\). Substituindo teremos

\(9990 a_3 + 890 a_2 = 10 a_1 + 9910 \Leftrightarrow 999 a_3 + 89 a_2= a_1+991\)

Ora, a última igualdade obriga a que \(a_3=1\) e consequentemente que \(a_2=0\), pelo que \(a_1 = 8\)


Assim, o menor número que fica com os digitos invertidos após ser multiplicado por 9 é o 1089.

OBS: Do modo que colocou a questão, não se excluem números com um dígito... nesse caso o número 0 também vê os seus digitos "invertidos" quando multiplicado por 9 e, estritamente falando, seria essa a resposta à questão.