Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa noite,
Antes de mais peço desculpa se a pergunta está elaborada de forma leiga (e lerda, digamos assim)...
Inevitavelmente todo o processo de criação e formulação de teorias/teoremas matemáticos suscita-me curiosidade. Há alguém que me saiba dizer como são elaboradas teorias matemáticas (generalizando)? Conhecem livros que abordem o assunto?
Obrigada.

A Matemática está muito ligado à lógica proposicional. Um teorema é uma afirmação que é possível provar partindo do nada (por um certo sistema), isto é, por uma hipótese. Para quem segue o ramo da Matemática, Matemática Computacional, Engenharia Informática etc... vai ter com certeza uma cadeira de Lógica. Deixo aqui alguns livros bons.

-Fundamentos de Lógica e Teoria da Computação - Segunda Edição : A. Sernadas e C. Sernadas 2012 College Publications, London
-An Introduction to Proof Theory.: S. Buss 1998 Handbook of Proof Theory, Elsevier, 1-78.
-Mathematical Logic I: Propositional Calculus, Boolean Algebras, Predicate Calculus, Completeness Thorems: R. Cori e D. Lascar 2000 Oxford University Press
-Mathematical Logic II: Recursion Theory, Gödel's Theorems, Set Theory, Model Theory: R. Cori e D. Lascar 2001 Oxford University Press
-Computability: Computable Functions, Logic, and the Foundations of Mathematics: R. Epstein and W. Carnielli 2001 Wadsworth
-Introduction to Mathematical Logic: E. Mendelson 1997 Chapman & Hall, (Fourth Edition).
-Mathematical Logic.: J. R. Shoenfield 2001 A K Peters

Muito obrigada pela lista de livros...pedrodaniel10 é possível ingressar no mundo da lógica proposicional de forma autodidata???

Uma aplicação muito chique
Como se constrói um teorema. ( Lourdes de La Rosa Onuchic)

Distribua uma folha com vários triângulos equiláteros desenhados.
Apresenta-se aos participantes o seguinte problema: colocar os números inteiros de 1 a 9, sem repeti-los, sobre os lados de um triângulo equilátero como nas figuras, de modo que a soma dos quatro números em cada lado seja 20.
Pede-se aos participantes que inventem triângulos, satisfazendo, ou não, a condição acima.
O professor desenha no quadro algumas soluções separando os que satisfazem e os que não satisfazem o comando.
Algumas soluções que satisfazem. Algumas soluções que não satisfazem.
Pede-se aos participantes que examinem os triângulos nos quais a soma dos números em cada lado é 20 e pergunta-se se eles notam alguma particularidade que todos apresentam. Quase sempre alguém observa que a soma dos números nos vértices é 15. Verifica-se que isso é verdade para todos os triângulos, mas será que é verdade sempre?
Assim, surge a conjectura 1: se no triângulo a soma dos números em cada lado é 20, então a soma dos números nos vértices é 15.
Para ver se é verdade sempre, colocam-se letras no lugar dos números:
Sabe-se que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 e, portanto, a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45. Somando-se os números ao longo de cada lado, obteremos a soma 60, pois 3x20 = 60,. Isto é, (a + b + c + d) + (d + e + f + g) + (g + h + i + a) = 60
Vemos que a + b + c + d + d + e + f + g + g + h + i + a = (a + b + c + d + e + f + g + h + i) + (d + g + a) = 60
Daí, 45 + (d + g + a) = 60 e d + g + a = 15. Confirmando o que se pensava.
Logo, a conjectura feita passa a ser um teorema, e a argumentação dada é a demonstração desse teorema.
Vale a recíproca? Isto é, se a soma dos números nos vértice é 15, então a soma dos números nos lados é sempre 20? Veja um dos triângulos acima que isso não é verdade. Logo, esse triângulo é chamado de contra-exemplo da recíproca do teorema. Logo, a recíproca é falsa.
Concluímos que a soma dos números nos vértices é 15 é uma condição necessária para que a soma dos números nos lados seja 20, mas não é condição suficiente.
Perguntar aos participantes se notam mais uma particularidade nos triângulos que satisfazem a condição imposta. Observe que o número 5 está num dos vértices. Mas, será que isso é sempre verdade?
Escrevemos a conjectura: se no triângulo a soma dos números em cada lado é 20, então 5 está num dos vértices do triângulo.
Nesse caso, vamos ver o que acontece se 5 não estiver em um dos vértices.
Daí, a + 5 + c + d = 20, ou seja, a + c + d = 15. Pelo teorema anterior, temos que a + d + g = 15. Assim, c = g, o que é um absurdo, pois os números do triângulo são todos distintos. Logo, 5 tem que estar num dos vértices do triângulo. A demonstração foi feita por contradição.