Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

demonstre que se A, B, C sao angulos internos de um triangulo entao vale a relacao:
cos 2A + cos 2B + cos 2C = -1 -4*cos A *cos B *cos C

Dicas:
como A,B,C sao angulos de um triangulo entao pode-se usar as seguintes relacoes
sen(B+C) = sen A
cos(B+C) = -cos A
sen((B+C)/2) = cos (A/2)
cos((B+C)/2) = sen (A/2)

Obrigado pela ajuda

Apesar de o post ser antigo, numa tentativa de "limpeza" das perguntas por responder, aqui vai a solução.

\(\cos (2a) + \cos (2b) +\cos (2c) = -1 - 4 \cos a \, \cos b \, \cos c \Leftrightarrow
2 \cos^2 a -1 + 2 \cos^2 b -1+2 \cos^2 c -1 = -1 - 4 \cos a \, \cos b \, \cos c \Leftrightarrow
\cos^2 a + \cos^2 b + \cos^2 c + 2 \cos a \, \cos b \, \cos c =1 \Leftrightarrow
\cos^2 a + \cos^2 b + \cos^2 (a+b) + 2 \cos a \, \cos b \, \cos (a+b) =1 \Leftrightarrow
\cos^2 a + \cos^2 b + ( \cos a \, \cos b - \sin a \, \sin b)^2 - 2 \cos a\, \cos b \, ( \cos a \, \cos b - \sin a \, \sin b) = 1 \Leftrightarrow
\cos^2 a + \cos^2b +\cos^2 a \cos^2 b - 2 \cos a \, \cos b \, \sin a \,\sin b + \sin^2 \, a\sin^2 b -2 \cos^2 \, a\cos^2 b + 2 \cos a \, \cos b \, \sin a \, \sin b = 1 \Leftrightarrow
\cos^2 a + \cos^2 b - \cos^2 a \cos^2 b + (1-\cos^2 a)(1-\cos^2 b) = 1\Leftrightarrow
\cos^2 a + \cos^2 b - \cos^2 a \cos^2 b + 1 - \cos^2 b - \cos^2 a + \cos^2 a \, \cos^2 b = 1 \Leftrightarrow\)
1 = 1

Pelo que a proposição inicial é verdadeira ...


Fórmulas auxiliares:

1. \(\cos (2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2x -1\)

2. Se \(a+b+c=\pi\) então \(\cos c = - \cos(a+b)\)

3. \(\cos(a+b) = \cos a \, \cos b - \sin a \, \sin b\)

Valeu! Muito Obrigado.