Calcule o momento da força - Mecanica
24 abr 2014, 12:21
Bom dia,
Sou novo no fórum e gostaria da ajuda de vocês!
Pergunta: Se o momento produzido sobre o ponto A pela força 4-KN é de 10KN.m no sentido horário, determine o angulo theta.
Obrigado.
Sou novo no fórum e gostaria da ajuda de vocês!
Pergunta: Se o momento produzido sobre o ponto A pela força 4-KN é de 10KN.m no sentido horário, determine o angulo theta.
Obrigado.
- Anexos
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Re: Calcule o momento da força - Mecanica
03 mai 2014, 02:15
Boa noite,
Como o momento é no sentido horário então vale \(-10 kN.\)
Os momentos no lado oposto são (vou omitir as unidades pois são todas SI):
Horizontal: \(H = 0,45 \cdot 4 \cdot cos(\theta) = \frac{9}{5} \cdot cos(\theta)\)
Horizontal: \(V = 3,00 \cdot 4 \cdot sen(\theta) = 12 \cdot sen(\theta)\)
Como resultado teremos que: \(-10 = \frac{9}{5} \cdot cos(\theta) - 12 \cdot sen(\theta) \Leftrightarrow 10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot cos(\theta) \Leftrightarrow 10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot \sqrt{1- sen^2(\theta)\) .
A solução dessa equação (complicadinha) é \(sen(\theta) \sim 0,89898 \Rightarrow \theta \sim 1,117 rad \sim 64^o\)
(obs. há uma outra forma de resolver isso usando uma abordagem geométrica e algumas outras propriedades trigonométricas, mas eu me enrolei na solução - assim que for possível eu retomo e posto aqui em caso de sucesso).
Como o momento é no sentido horário então vale \(-10 kN.\)
Os momentos no lado oposto são (vou omitir as unidades pois são todas SI):
Horizontal: \(H = 0,45 \cdot 4 \cdot cos(\theta) = \frac{9}{5} \cdot cos(\theta)\)
Horizontal: \(V = 3,00 \cdot 4 \cdot sen(\theta) = 12 \cdot sen(\theta)\)
Como resultado teremos que: \(-10 = \frac{9}{5} \cdot cos(\theta) - 12 \cdot sen(\theta) \Leftrightarrow 10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot cos(\theta) \Leftrightarrow 10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot \sqrt{1- sen^2(\theta)\) .
A solução dessa equação (complicadinha) é \(sen(\theta) \sim 0,89898 \Rightarrow \theta \sim 1,117 rad \sim 64^o\)
(obs. há uma outra forma de resolver isso usando uma abordagem geométrica e algumas outras propriedades trigonométricas, mas eu me enrolei na solução - assim que for possível eu retomo e posto aqui em caso de sucesso).
Re: Calcule o momento da força - Mecanica
03 mai 2014, 19:54
Boa tarde, voltei para resolver alternativamente a questão:
Adicionei a seguinte figura esquemática:
Usando as componentes vetoriais podemos calcular o ângulo \(\alpha = arctg \left( \frac{1.8}{12} \right) \Rightarrow \alpha \sim 8.5^o\).
Agora vamos calcular, usando uma identidade trigonométrica: \(sen(\theta - \alpha) = cos(\alpha) \cdot sen(\theta) - sen(\alpha) \cdot cos(\theta)\)
Peguemos a expressão intermediária que desenvolvi na primeira alternativa acima: \(10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot cos(\theta)\)
Agora olhando para estas duas últimas espressões vemos que são bem semelhantes, até dá vontade de dividir a última pela hipotenusa \(\sqrt{12^2 + 1.8^2}\), então não passemos vontade. Ou seja se dividirmos vamos concluir que:
\(\frac{10}{\sqrt{12^2 + 1.8^2}} = sen(\theta - \alpha)\) de onde sai que \(\theta - \alpha \sim 55.5^o\).
Então \(\theta \sim 55.5^o + 8.5^o = 64^o\).
Que é a mesma resposta da primeira solução.
É isso!
Adicionei a seguinte figura esquemática:
- Esquema
- mec-momento.png (10.77 KiB) Visualizado 3180 vezes
Usando as componentes vetoriais podemos calcular o ângulo \(\alpha = arctg \left( \frac{1.8}{12} \right) \Rightarrow \alpha \sim 8.5^o\).
Agora vamos calcular, usando uma identidade trigonométrica: \(sen(\theta - \alpha) = cos(\alpha) \cdot sen(\theta) - sen(\alpha) \cdot cos(\theta)\)
Peguemos a expressão intermediária que desenvolvi na primeira alternativa acima: \(10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot cos(\theta)\)
Agora olhando para estas duas últimas espressões vemos que são bem semelhantes, até dá vontade de dividir a última pela hipotenusa \(\sqrt{12^2 + 1.8^2}\), então não passemos vontade. Ou seja se dividirmos vamos concluir que:
\(\frac{10}{\sqrt{12^2 + 1.8^2}} = sen(\theta - \alpha)\) de onde sai que \(\theta - \alpha \sim 55.5^o\).
Então \(\theta \sim 55.5^o + 8.5^o = 64^o\).
Que é a mesma resposta da primeira solução.
É isso!