Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia,

Sou novo no fórum e gostaria da ajuda de vocês!

Pergunta: Se o momento produzido sobre o ponto A pela força 4-KN é de 10KN.m no sentido horário, determine o angulo theta.

Obrigado.

Boa noite,

Como o momento é no sentido horário então vale \(-10 kN.\)

Os momentos no lado oposto são (vou omitir as unidades pois são todas SI):

Horizontal: \(H = 0,45 \cdot 4 \cdot cos(\theta) = \frac{9}{5} \cdot cos(\theta)\)
Horizontal: \(V = 3,00 \cdot 4 \cdot sen(\theta) = 12 \cdot sen(\theta)\)

Como resultado teremos que: \(-10 = \frac{9}{5} \cdot cos(\theta) - 12 \cdot sen(\theta) \Leftrightarrow 10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot cos(\theta) \Leftrightarrow 10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot \sqrt{1- sen^2(\theta)\) .

A solução dessa equação (complicadinha) é \(sen(\theta) \sim 0,89898 \Rightarrow \theta \sim 1,117 rad \sim 64^o\)

(obs. há uma outra forma de resolver isso usando uma abordagem geométrica e algumas outras propriedades trigonométricas, mas eu me enrolei na solução - assim que for possível eu retomo e posto aqui em caso de sucesso).

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Fraol
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Boa tarde, voltei para resolver alternativamente a questão:

Adicionei a seguinte figura esquemática:

Usando as componentes vetoriais podemos calcular o ângulo \(\alpha = arctg \left( \frac{1.8}{12} \right) \Rightarrow \alpha \sim 8.5^o\).

Agora vamos calcular, usando uma identidade trigonométrica: \(sen(\theta - \alpha) = cos(\alpha) \cdot sen(\theta) - sen(\alpha) \cdot cos(\theta)\)

Peguemos a expressão intermediária que desenvolvi na primeira alternativa acima: \(10 = 12 \cdot sen(\theta) - 1,8 \cdot cos(\theta)\)

Agora olhando para estas duas últimas espressões vemos que são bem semelhantes, até dá vontade de dividir a última pela hipotenusa \(\sqrt{12^2 + 1.8^2}\), então não passemos vontade. Ou seja se dividirmos vamos concluir que:

\(\frac{10}{\sqrt{12^2 + 1.8^2}} = sen(\theta - \alpha)\) de onde sai que \(\theta - \alpha \sim 55.5^o\).

Então \(\theta \sim 55.5^o + 8.5^o = 64^o\).

Que é a mesma resposta da primeira solução.

É isso!

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