[Trignometria] Exercicio

[rola09]

Resolvi este exercicio, mas estou com dificuldade em perceber como completar o exercicio 1.2. Não percebo como interpretar geometricamente. Se alguém puder ajudar.



1. Na figura estão representados um semicírculo de diâmetro [AB] e um triângulo [ABC] nele inscrito.
Sabe-se que:
. \(x\) é a amplitude do ângulo BAC e \(x\epsilon \left ]0,\frac{\pi }{2} \right [\)
. \(\overline{AB}\)=10

1.1. Prove que a área do triângulo [ABC] é dada pela expressão A\(\left ( x \right )\)=\(50sen x cos x\)

Área = \(\frac{\overline{AC}*\overline{CB}}{2}\)

\(cos x = \frac{\overline{AC}}{10}\Leftrightarrow\overline{AC}=10cosx\)

\(sen x = \frac{\overline{CB}}{10}\Leftrightarrow\overline{CB}=10senx\)

Área=\(\frac{10cosx*10senx}{2}\Leftrightarrow\)Área=\(50 cosx.senx\)


1.2. Calcule, recorrendo à função, a área do triângulo para \(x=\frac{\pi }{4}\), e interprete geometricamente.

Área \(\left ( \frac{\pi }{4} \right )=50 cos\left ( \frac{\pi }{4} \right )\)
x\(sen\left ( \frac{\pi }{4} \right )\Leftrightarrow\) Área \(\left ( \frac{\pi }{4} \right )=50\)x\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)x\(\frac{\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow\)Área \(\left ( \frac{\pi }{4} \right )=25\)

NOTA: a \(\rightarrow\) na resposta ao exercicio em cima está a mais..não sei porque aparece, porque nem sequer coloquei o código.

[João P. Ferreira]

Repare que
tratando-se de um semicírculo, então o raio do círculo é igual a \(\frac{\overline{AB}}{2}\)

Quando \(x=\frac{\pi}{4} rad=45^\circ\) o ponto \(C\) tem a sua projeção vertical exatamente a meio do segmento de reta \(\overline{AB}\)

Significa então que está perante um triângulo isósceles e que se aplicam as regras das áreas deste tipo de triângulos.

Neste caso a base do triângulo é \(b=\overline{AB}\) e a altura do triângulo é \(h=\frac{\overline{AB}}{2}\)

Pela regra da área dos triângulos \(A=\frac{b\times h}{2}\) obtem \(A=\frac{\overline{AB}^2}{4}\)

Para os valores em causa dá \(A=\frac{100}{4}=25\) cqd

Cumprimentos

[rola09]

Antes de mais agradeço a sua resposta.
Mas não percebi o que quis dizer. Isso é a resposta a interprete geometricamente?

[João P. Ferreira]

A resposta a interprete geometricamente seria no meu entender:

Trata-se de um triângulo isósceles inscrito num semicírculo

[rola09]

A resposta a interprete geometricamente seria no meu entender:

Trata-se de um triângulo isósceles inscrito num semicírculo

Um triângulo isósceles não é um triângulo com pelo menos dois lados iguais?

[João P. Ferreira]

É

e quando \(x=\frac{\pi}{4}\) temos que \(\overlin{AC}=\overlin{CB}\)