fatoração e produtos notáveis

[Leitão]

Sendo a,b,c números reais positivos tais que : a + 1/b=b+1/c=c+1/a , então o valor de abc é ?

[Rui Carpentier]

A única conclusão que podemos tirar do sistema a+1/b=b+1/c=c+1/a é que a=b=c, logo abc=a^3 pode ser qualquer real positivo.

De facto, a=b=c é a única solução possível. Como o sistema a+1/b=b+1/c=c+1/a é invariante pela permutação a->b, b->c, c->a podemos sem perda de generalidade supor que a=min{a,b,c} e c=max{a,b,c} ou a=max{a,b,c} e c=min{a,b,c}. Se no 1º caso a<c então a+1/b<c+1/a o que contradiz o sistema, logo a=c e portanto a=b=c. Se no 2º caso a>c então a+1/b>c+1/a o que contradiz o sistema, logo a=c e portanto a=b=c.