Raio das Cubas!

[KratosAbreu]

Sobre uma pedra de granito em um banheiro foram colocadas duas cubas de raios r e 2r centímetros. Sabe-se que o volume total das cubas é de \(20,25 \pi\) litros. Determine o raio de cada cuba.
Ps: Eu sei que tem que transformar litros em cm³ pra ficar mais fácil. Se puderem me ajudar, agradeço.

[Fraol]

Olá, para esse problema vamos supor que o volume de cada cuba seja a metade do volume da esfera correspondente, pois não nos foi informado a altura da cuba que, eventualmente pode ser diferente do raio. Assim:

\(V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3\)

\(V_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{2}{3} \pi 8r^3\)

\(V_1 + V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi 8r^3 = \frac{9}{3} \pi r^3 = {3} \pi r^3\).

O volume total é \(20,25 \pi\) litros que equivale a \(20250 \text{cm}^3\).

Agora igualamos \({3} \pi r^3 = 20250 \pi \Rightarrow r^3 = 20250 \Leftrightarrow r^3 = 6,75 \Leftrightarrow r \sim 27,26 \text{cm}\)

É isso. Por favor dá uma verificada se não errei nas contas, hoje o dia foi muito longo e as pilhas estão acabando.

[KratosAbreu]

Fraol eu não entendi muito bem o que você fez...
Eu pensei da seguinte maneira. Como ele da o volume das cubas, logo o volume simplificando aqui será:
\(V=\frac{2}{3} \pi r^3\)

\(20250\pi =\frac{2}{3} \pi r^3\)

Corta pi com pi, passa o 20250 multiplicando fica..:

\(60750 = 2r^3\)

\(r^3 = 30375\)
Agora na hora de fatorar esse numero, deu problema, não conseguir resolver...E se esse jeito que eu fiz tá certo..

[Fraol]

São duas cubas, uma com raio r e outra com raio 2r, então o volume dado é a soma dos dois volumes, não?

[Fraol]

Estou repondo, pois tinha um erro de conta:

\(V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3\)

\(V_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{2}{3} \pi 8r^3\)

\(V_1 + V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi 8r^3 = \frac{9}{3} \pi r^3 = {3} \pi r^3\).

O volume total é \(20,25 \pi\) litros que equivale a \(20250 \text{cm}^3\).

Agora igualamos \({3} \pi r^3 = 20250 \pi \Rightarrow r^3 = \frac{20250}{3} \Leftrightarrow r^3 = 6750 \Leftrightarrow r \sim 18,90 \text{cm}\).

[KratosAbreu]

Mais o problema fala que "o volume total das cubas é de 20,25 pi litros" . Pelo que eu entendi, ele já da o V1 + V2, não?! :s
Não sei, posso estar confundindo as coisas aqui rs' :s

[Fraol]

Sim, então somamos V1 e V2 e obtemos uma fórmula do volume total. Então igualamos essa fórmula aos 20,25 ...

Depois fazemos as contas para achar o raio r.

Por fim, o que não fiz mas está implícito, respondemos que uma cuba tem raio r = 18,9 cm e a outra tem raio 2r = 37,8 cm ( se as contas estiverem ok ).

Na solução que você propôs está considerando apenas uma cuba de raio r mas o enunciado cita duas cubas por isso que eu somei os V1 e V2 para depois procurar o valor do raio.

[KratosAbreu]

Entendi seu raciocínio e realmente faz sentido. Então no valor do raio se eu for trabalhar com raiz cubica e não com valores aproximados, eu encontraria \(r=15 \sqrt[3]{2} cm\)e\(2r=30 \sqrt[3]{2}\) Correto?!

[Fraol]

Sim o raciocínio está correto, as minhas contas não. Aliás fiz uma lambança nelas e num programa de computador que já estou há horas tentando resolver um bug mas não vai.

Então vou repor, mais uma vez, para eliminar os erros de conta, aliás eu verifiquei o resultado dessa vez (hehe...):

\(V_1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3\)

\(V_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{2}{3} \pi 8r^3\)

\(V_1 + V_2 = \frac{2}{3} \pi r^3 + \frac{2}{3} \pi 8r^3 = 9 \cdot \frac{2}{3} \pi r^3 = {6} \pi r^3\). (tinha mais um erro aqui!)

O volume total é \(20,25 \pi\) (mas não vamos converter agora.).

Agora igualamos \({6} \pi r^{3} = 20,25 \pi \Rightarrow {r}^{3} = \frac{20,25}{6} \Leftrightarrow {r}^{3} = 3,375 \Leftrightarrow r = 15 \text{cm}\) (exatos).

Fazendo as contas de volta:

\(V_1 = \frac{2}{3} \pi (15)^3 = 7068,58 \text{cm^3}\)

\(V_2 = \frac{2}{3} \pi (30)^3 = 56548,67 \text{cm^3}\)

\(V_1 + V_2 = {6} \pi (15)^3 = 63617,25 = 20250*\pi\).

[KratosAbreu]

Fraol não entendi esse 9 na seguinte conta:

\(V_1 + V_2 = \frac{2}{3}\pi r^3+\frac{2}{3}\pi8 r^3 = 9*\frac{2}{3}\pi r^3...\) Esse 9 depois da igualdade..

Editado pela última vez por KratosAbreu em 29 mar 2013, 16:21, num total de 1 vez.