martinhox Escreveu:caso apareça
f:R->R, f(x)=-3x^2+7x-1
e s, a recta definida por
{(x,y)∊R^2: y=x+3}
a)o conjunto Gf é uma cônica. apresente a sua equação; eixo de simetria e vértice
A equação geral das cónicas é do tipo
\(Ax^2 + B xy + C y^2 + Dx +E y +F =0\)
Neste caso,
\(-3 x^2 +7x-y -1 =0\)
eixo de simetria: x =7/6
vértice: (7/6, 37/12)
b) justifique, ou refute, a asserção; gf⋀s={}
Apenas tem que ver se a parábola e a recta se intersetam...
\(-3x^2+7x-1 = x+3 \Leftrightarrow -3x^2+6x-4 = 0 \Leftrightarrow\)
Como esta equação é impossível em \(\mathbb{R}\) concluímos que realmente a afirmação é verdadeira.
c)identifique o ponto gf que esta mais próximo da reta s
Esboçando os gráficos pode ver que a distância entre os dois gráficos vai ser igual à distância entre a recta s e uma recta paralela a s, mas tangente à parábola. Como s tem declive 1, resolvendo f'(x) = 1, ficamos a saber que o ponto de tangência será x = 1, pelo que o ponto (1 , 4) será o ponto da parábola mais próximo da recta.