Determinar o valor exato da altura do cone
28 jan 2018, 01:21
Vai em anexo o exercicio
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Re: Determinar o valor exato da altura do cone
28 jan 2018, 02:19
Boa noite!
A interseção da reta r com o plano \(\alpha\) nos dá o ponto C.
Então:
\(2x+y-2z=1\\2(1+2\lambda)+(\lambda)-2(-1+3\lambda)=1\\2+4\lambda+\lambda+2-6\lambda=1\\-\lambda=1-2-2\\\lambda=3\)
Agora, podemos calcular o ponto:
\((x,y,z)=(1+2(3),0+1(3),-1+3(3))\\(x,y,z)=(7,3,8)\)
Podemos facilmente obter o ponto da reta (V) que tem abscissa(x) igual a 3, também.
\(1+2\lambda=3\\\lambda=1\\(x,y,z)=(1+2(1),0+1(1),-1+3(1))\\(x,y,z)=(3,2,2)\)
Agora que temos também o ponto V calculemos o vetor \(\vec{VC}\)
\(\vec{VC}=(7-3,3-2,8-2)=(4,1,6)\)
O tamanho da projeção deste vetor sobre o vetor normal do plano nos entrega a altura do cone. Portanto:
\(\vec{n}=(2,1,-2)\\h=\left|\dfrac{\vec{VC}\cdot\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}\right|\\h=\left|\dfrac{(4,1,6)\cdot(2,1,-2)}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\right|\\h=\left|\dfrac{4.2+1.1+6.(-2)}{\sqrt{9}}\right|\\h=\left|\dfrac{-3}{3}\right|=1\)
Espero ter ajudado!
A interseção da reta r com o plano \(\alpha\) nos dá o ponto C.
Então:
\(2x+y-2z=1\\2(1+2\lambda)+(\lambda)-2(-1+3\lambda)=1\\2+4\lambda+\lambda+2-6\lambda=1\\-\lambda=1-2-2\\\lambda=3\)
Agora, podemos calcular o ponto:
\((x,y,z)=(1+2(3),0+1(3),-1+3(3))\\(x,y,z)=(7,3,8)\)
Podemos facilmente obter o ponto da reta (V) que tem abscissa(x) igual a 3, também.
\(1+2\lambda=3\\\lambda=1\\(x,y,z)=(1+2(1),0+1(1),-1+3(1))\\(x,y,z)=(3,2,2)\)
Agora que temos também o ponto V calculemos o vetor \(\vec{VC}\)
\(\vec{VC}=(7-3,3-2,8-2)=(4,1,6)\)
O tamanho da projeção deste vetor sobre o vetor normal do plano nos entrega a altura do cone. Portanto:
\(\vec{n}=(2,1,-2)\\h=\left|\dfrac{\vec{VC}\cdot\vec{n}}{\left\|\vec{n}\right\|}\right|\\h=\left|\dfrac{(4,1,6)\cdot(2,1,-2)}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}\right|\\h=\left|\dfrac{4.2+1.1+6.(-2)}{\sqrt{9}}\right|\\h=\left|\dfrac{-3}{3}\right|=1\)
Espero ter ajudado!