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Achar o Seno de um ângulo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=12374 |
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Autor: | Bmmarinho [ 23 fev 2017, 15:50 ] |
Título da Pergunta: | Achar o Seno de um ângulo |
Determinar o ângulo C de um triângulo ABC, sabendo que os ângulos A e B, estão relacionados por tg A + tg B = sen 2 C, cos A. cos B = sen C . |
Autor: | alod [ 16 abr 2017, 15:07 ] |
Título da Pergunta: | Re: Achar o Seno de um ângulo |
Em qualquer triângulo vale A+B+C = 180, logo A+B = 180-C, logo: tan(A+B) = tan(180-C) = -tan C (tan A+tan B) / (1-tan A*tan B) = -tan C Substituindo tan A+tan B = sin 2C: sin 2C = tan C (tan A*tanB-1) sin 2C = tan C [(sin A*sin B)/(cos A*cos B)-1] Substituindo cos A*cos B = sin C: sin 2C = tan C [(sin A*sin B)/sin C -1] Isolando sin A*sin B: sin A*sin B = sin C(sin 2C/tan C + 1) sin A*sin B = sin 2C*cos C + sin C A ideia agora é calcular cos(A+B): A+B+C = 180 A+B = 180-C cos(A+B) = cos(180-C) = -cos C cos A*cos B - sin A*sin B = -cos C Substituindo os 2 produtos do lado esquerdo: sin C - sin 2C *cos C - sin C = -cos C sin 2C *cos C - cos C = 0 cos C*(sin 2C-1) = 0 Temos então dois casos: (i)cos C = 0 C = 90º Nesse caso, tanto A quanto B são menores que 90º, para satisfazer A+B+C = 180. Porém, tan A + tan B = sin 2C = sin 180º = 0 Como A,B < 90º, tan A, tan B > 0, o que significa que a equação acima não pode ser satisfeita. Portanto, C = 90º não é solução para o problema. (ii) sin 2C = 1 2C = 90º C = 45º Conferindo C = 45º: sin A*sin B = sin 2C*cos C + sin C = sqrt(2) cos A*cos B = sin C = sqrt(2)/2, portanto: tan A*tan B = 2 A+B = 180-C = 135º, logo tan(A+B) deve valer -1. De fato, tan(A+B) = tan A+tan B / (1-tan A*tanB) = sin 2C / (1-2) = 1/-1 = -1. Desta forma, C = 45º (Resposta) |
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