Achar o Seno de um ângulo

[Bmmarinho]

Determinar o ângulo C de um triângulo ABC, sabendo que os ângulos
A e B, estão relacionados por
tg A + tg B = sen 2 C, cos A. cos B = sen C .

[alod]

Em qualquer triângulo vale A+B+C = 180, logo A+B = 180-C, logo:
tan(A+B) = tan(180-C) = -tan C
(tan A+tan B) / (1-tan A*tan B) = -tan C

Substituindo tan A+tan B = sin 2C:
sin 2C = tan C (tan A*tanB-1)
sin 2C = tan C [(sin A*sin B)/(cos A*cos B)-1]

Substituindo cos A*cos B = sin C:
sin 2C = tan C [(sin A*sin B)/sin C -1]

Isolando sin A*sin B:
sin A*sin B = sin C(sin 2C/tan C + 1)
sin A*sin B = sin 2C*cos C + sin C

A ideia agora é calcular cos(A+B):
A+B+C = 180
A+B = 180-C
cos(A+B) = cos(180-C) = -cos C
cos A*cos B - sin A*sin B = -cos C

Substituindo os 2 produtos do lado esquerdo:
sin C - sin 2C *cos C - sin C = -cos C
sin 2C *cos C - cos C = 0
cos C*(sin 2C-1) = 0

Temos então dois casos:
(i)cos C = 0
C = 90º
Nesse caso, tanto A quanto B são menores que 90º, para satisfazer A+B+C = 180. Porém,
tan A + tan B = sin 2C = sin 180º = 0
Como A,B < 90º, tan A, tan B > 0, o que significa que a equação acima não pode ser satisfeita.
Portanto, C = 90º não é solução para o problema.

(ii) sin 2C = 1
2C = 90º
C = 45º

Conferindo C = 45º:
sin A*sin B = sin 2C*cos C + sin C = sqrt(2)
cos A*cos B = sin C = sqrt(2)/2, portanto:
tan A*tan B = 2
A+B = 180-C = 135º, logo tan(A+B) deve valer -1. De fato,
tan(A+B) = tan A+tan B / (1-tan A*tanB) = sin 2C / (1-2) = 1/-1 = -1.

Desta forma,
C = 45º (Resposta)