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Bom dia pessoal


Estou tentando resolver essa questão, mas a loira aqui nao esta conseguindo kkk


Prove que o comprimento da altura de um triângulo equilátero de lado ℓ é igual
a
ℓ√3
2
e calcule sua área.


Poderiam me ajudar por gentileza

Grata

Olá!

Não sei se consigo te dar uma prova formal, mas posso dar algumas dicas de como chegar nessa fórmula...

Se você traçar a altura em um triângulo equilátero, talvez já perceba o que fazer, veja a reta tracejada no anexo ao final da minha resposta. Sugiro tentar encontrar a fórmula da altura a partir daí, podes usar o Teorema de Pitágoras...

Se tiver dificuldades, segue o processo:



Para encontrar a fórmula da área do triângulo equilátero em função do lado, tens que partir da fórmula para a área de um triângulo qualquer: \(\frac{bh}{2}\), substituindo a altura (h) pela fórmula que encontramos anteriormente:



Se alguém puder complementar, agradeço.


Até mais!

Olá, Mariana

Acompanhe com o desenho do Haroflow. Repare que a altura do triângulo é a linha tracejada que o divide em dois triângulos retângulos, cada um deles com um cateto medindo l/2. Em um triângulo retângulo, qualquer cateto (h) é igual ao produto do outro (l/2) multiplicado pela tangente do ângulo que lhe é oposto. Assim:

\(h=\frac{l}{2}.tg60^0\ =>\ h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\\\)

A área do triângulo é: \(A=\frac{1}{2}.b.h = \frac{1}{2}.l.\frac{l.\sqrt{3}}{2}=>\ A=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}\)

Outra maneira de calcular a área é: Em um triângulo, a área é a metade do produto de dois lados adjacentos pelo seno do ângulo por eles formado. Então:

\(A=\frac{1}{2}.l.l.sen60^0=\frac{1}{2}.l^2.\frac{\sqrt{3}}{2}\ =>\ A=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}\)

Saudações Mariana, saudações Haroflow