Area triangulo equilatero e comprimento da altura

[mariana-surf]

Bom dia pessoal


Estou tentando resolver essa questão, mas a loira aqui nao esta conseguindo kkk


Prove que o comprimento da altura de um triângulo equilátero de lado ℓ é igual
a
ℓ√3
2
e calcule sua área.


Poderiam me ajudar por gentileza

Grata

[haroflow]

Olá!

Não sei se consigo te dar uma prova formal, mas posso dar algumas dicas de como chegar nessa fórmula...

Se você traçar a altura em um triângulo equilátero, talvez já perceba o que fazer, veja a reta tracejada no anexo ao final da minha resposta. Sugiro tentar encontrar a fórmula da altura a partir daí, podes usar o Teorema de Pitágoras...

Se tiver dificuldades, segue o processo:

Spoiler:

\(\begin{align*}
l^2 &= \left ( \frac{l}{2} \right )^2+h^2 \\
l^2- \left (\frac{l}{2} \right) ^2 &= h^2 \\
l^2-\frac{l^2}{2^2} &= h^2 \\
\frac{4l^2}{4}-\frac{l^2}{4} &= h^2
\frac{3l^2}{4} &= h^2 \\
\sqrt{\frac{3l^2}{4}} &= \sqrt{h^2} \\
\frac{\sqrt{3l^2}}{\sqrt{4}} &= h \\
\frac{\sqrt{3}\sqrt{l^2}}{2} &= h \\
\frac{l\sqrt{3}}{2} &= h
\end{align*}\)

Para encontrar a fórmula da área do triângulo equilátero em função do lado, tens que partir da fórmula para a área de um triângulo qualquer: \(\frac{bh}{2}\), substituindo a altura (h) pela fórmula que encontramos anteriormente:

Spoiler:

\(\begin{align*}
A_\Delta &= \frac{bh}{2}\ ,\ b = l\ ,\ h=\frac{l\sqrt{3}}{2} \\
A_\Delta &= \frac{l(\frac{l\sqrt{3}}{2})}{2} \\
A_\Delta &= \frac{(\frac{l*l\sqrt{3}}{2})}{2} \\
A_\Delta &= \frac{1}{2} \frac{l^2\sqrt{3}}{2} \\
A_\Delta &= \frac{l^2\sqrt{3}}{4}
\end{align*}\)

Se alguém puder complementar, agradeço.


Até mais!

Anexos

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[danko71]

Olá, Mariana

Acompanhe com o desenho do Haroflow. Repare que a altura do triângulo é a linha tracejada que o divide em dois triângulos retângulos, cada um deles com um cateto medindo l/2. Em um triângulo retângulo, qualquer cateto (h) é igual ao produto do outro (l/2) multiplicado pela tangente do ângulo que lhe é oposto. Assim:

\(h=\frac{l}{2}.tg60^0\ =>\ h=\frac{l\sqrt{3}}{2}\\\)

A área do triângulo é: \(A=\frac{1}{2}.b.h = \frac{1}{2}.l.\frac{l.\sqrt{3}}{2}=>\ A=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}\)

Outra maneira de calcular a área é: Em um triângulo, a área é a metade do produto de dois lados adjacentos pelo seno do ângulo por eles formado. Então:

\(A=\frac{1}{2}.l.l.sen60^0=\frac{1}{2}.l^2.\frac{\sqrt{3}}{2}\ =>\ A=\frac{l^2.\sqrt{3}}{4}\)

Saudações Mariana, saudações Haroflow