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Cálculo de volume de tronco de cone https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=23&t=11243 |
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Autor: | andrefgj [ 28 mai 2016, 03:11 ] |
Título da Pergunta: | Cálculo de volume de tronco de cone |
Gostaria de saber qual fórmula eu poderia usar pra determinar o Raio da base maior e a altura do tronco de cone necessárias para atingir 10000cm³ usando o exemplo da figura abaixo: Anexo:
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Autor: | jorgeluis [ 28 mai 2016, 14:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
se, \(V=\frac{\pi.h}{3}.(r^2+r.R+R^2)\) e, \(V_1=20000cm^3 V_2=10000cm^3 r=25cm R_1=30cm h_1=33,59\) então, \(\frac{V_1}{(r^2+r.R_1+R_1^2)}=\frac{V_2}{(r^2+r.R_2+R_2^2)} \frac{20000}{(25^2+25.30+30^2)}=\frac{10000}{(25^2+25.R_2+R_2^2)}\) \(2R^2+50R-1025=0 R_2=\frac{-50+10\sqrt{107}}{4}cm\) da mesma forma: \(\frac{V_1}{h_1}=\frac{V_2}{h_2} \frac{20000}{33,59}=\frac{10000}{h_2} h_2=16,795cm\) |
Autor: | Baltuilhe [ 28 mai 2016, 22:14 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
Boa tarde! Jorge, verifiquei e percebi que suas contas não estão 'batendo' Fiz o exercício e cheguei no seguinte: Dados: H=33,59cm D=30cm d=25cm I=? (diâmetro intermediário) h=? (altura a ser calculada) V = volume do do copo cheio v = volume do meio copo Usando a proporção entre triângulos, temos: \(\frac{h}{H}=\frac{I-d}{D-d} h=\frac{H(I-d)}{D-d}\) Agora, podemos calcular o volume dos dois troncos: \(V=\frac{\pi{H}}{12}(D^2+d^2+Dd) v=\frac{\pi{h}}{12}(I^2+d^2+Id) v=\frac{\pi{H(I-d)}}{12(D-d)}(I^2+d^2+Id) v=\frac{V}{2} \frac{\pi{H(I-d)}}{12(D-d)}(I^2+d^2+Id)=\frac{1}{2}\frac{\pi{H}}{12}(D^2+d^2+Dd) (I-d)(I^2+d^2+Id)=\frac{1}{2}(D-d)(D^2+d^2+Dd) I^3-d^3=\frac{1}{2}(D^3-d^3) I^3=\frac{D^3+d^3}{2} I=\sqrt[3]{\frac{D^3+d^3}{2}}\) Agora podemos calcular tudo: Primeiro o diâmetro intermediário: \(I=\sqrt[3]{\frac{D^3+d^3}{2}} I=\sqrt[3]{\frac{30^3+25^3}{2}} I\approx{27,73\text{ cm}}\) Agora a altura: \(h=\frac{H(I-d)}{D-d} h=\frac{33,59(27,73-25)}{30-25} h\approx{18,31\text{ cm}}\) Espero ter ajudado! |
Autor: | jorgeluis [ 29 mai 2016, 17:21 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
Baltuilhe. to achando os valores que você achou muito alto para chegar ao volume de 10000. vou calcular... |
Autor: | Baltuilhe [ 29 mai 2016, 20:15 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
Boa tarde! Jorge... calculando d = 25 cm D = 30 cm I = 27,73 cm h = 18,31 cm H = 33,59 cm \(V=\frac{\pi{H}}{12}(D^2+d^2+Dd)\approx\frac{3,1416\cdot{33,59}}{12}(30^2+25^2+30\cdot{25})\approx{20\,006,04} v=\frac{\pi{h}}{12}(I^2+d^2+Id)\approx\frac{3,1416\cdot{18,31}}{12}(27,73^2+25^2+27,73\cdot{25})\approx{10\,005,13}\) Usando uma ideia bem simples: a altura do tronco de cone deve maior do que a metade, concorda? Se fosse um cilindro seria exatamente a metade (duas figuras iguais), mas como o cone inferior tem a base menor... precisará de mais altura para ter a metade do volume, concorda? Abraços! Espero ter ajudado! |
Autor: | jorgeluis [ 29 mai 2016, 20:32 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
Baltuilhe, o volume do tronco é inversamente proporcional a 3, você colocou 12, por quê? |
Autor: | Baltuilhe [ 29 mai 2016, 20:36 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
Jorge, boa tarde! Volume do tronco em função dos raios das bases: \(V=\frac{H\pi}{3}(R^2+r^2+Rr)\) Ou em função dos diâmetros: \(V=\frac{H\pi}{3}\left[\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)\cdot\left(\frac{d}{2}\right)\right] V=\frac{H\pi}{3}\frac{1}{4}(D^2+d^2+Dd) V=\frac{H\pi}{12}(D^2+d^2+Dd)\) Espero ter ajudado! |
Autor: | jorgeluis [ 29 mai 2016, 20:48 ] |
Título da Pergunta: | Re: Cálculo de volume de tronco de cone |
entendi, valeu Baltuilhe! |
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