Cálculo de volume de tronco de cone

[andrefgj]

Gostaria de saber qual fórmula eu poderia usar pra determinar o Raio da base maior e a altura do tronco de cone necessárias para atingir 10000cm³ usando o exemplo da figura abaixo:

[jorgeluis]

se,
\(V=\frac{\pi.h}{3}.(r^2+r.R+R^2)\)
e,
\(V_1=20000cm^3
V_2=10000cm^3
r=25cm
R_1=30cm
h_1=33,59\)
então,
\(\frac{V_1}{(r^2+r.R_1+R_1^2)}=\frac{V_2}{(r^2+r.R_2+R_2^2)}
\frac{20000}{(25^2+25.30+30^2)}=\frac{10000}{(25^2+25.R_2+R_2^2)}\)
\(2R^2+50R-1025=0
R_2=\frac{-50+10\sqrt{107}}{4}cm\)
da mesma forma:
\(\frac{V_1}{h_1}=\frac{V_2}{h_2}
\frac{20000}{33,59}=\frac{10000}{h_2}
h_2=16,795cm\)

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Jorge, verifiquei e percebi que suas contas não estão 'batendo'

Fiz o exercício e cheguei no seguinte:
Dados:
H=33,59cm
D=30cm
d=25cm
I=? (diâmetro intermediário)
h=? (altura a ser calculada)
V = volume do do copo cheio
v = volume do meio copo

Usando a proporção entre triângulos, temos:
\(\frac{h}{H}=\frac{I-d}{D-d}
h=\frac{H(I-d)}{D-d}\)

Agora, podemos calcular o volume dos dois troncos:
\(V=\frac{\pi{H}}{12}(D^2+d^2+Dd)
v=\frac{\pi{h}}{12}(I^2+d^2+Id)
v=\frac{\pi{H(I-d)}}{12(D-d)}(I^2+d^2+Id)
v=\frac{V}{2}
\frac{\pi{H(I-d)}}{12(D-d)}(I^2+d^2+Id)=\frac{1}{2}\frac{\pi{H}}{12}(D^2+d^2+Dd)
(I-d)(I^2+d^2+Id)=\frac{1}{2}(D-d)(D^2+d^2+Dd)
I^3-d^3=\frac{1}{2}(D^3-d^3)
I^3=\frac{D^3+d^3}{2}
I=\sqrt[3]{\frac{D^3+d^3}{2}}\)

Agora podemos calcular tudo:
Primeiro o diâmetro intermediário:
\(I=\sqrt[3]{\frac{D^3+d^3}{2}}
I=\sqrt[3]{\frac{30^3+25^3}{2}}
I\approx{27,73\text{ cm}}\)

Agora a altura:
\(h=\frac{H(I-d)}{D-d}
h=\frac{33,59(27,73-25)}{30-25}
h\approx{18,31\text{ cm}}\)

Espero ter ajudado!

[jorgeluis]

Baltuilhe.
to achando os valores que você achou muito alto para chegar ao volume de 10000.
vou calcular...

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Jorge... calculando

d = 25 cm
D = 30 cm
I = 27,73 cm
h = 18,31 cm
H = 33,59 cm

\(V=\frac{\pi{H}}{12}(D^2+d^2+Dd)\approx\frac{3,1416\cdot{33,59}}{12}(30^2+25^2+30\cdot{25})\approx{20\,006,04}
v=\frac{\pi{h}}{12}(I^2+d^2+Id)\approx\frac{3,1416\cdot{18,31}}{12}(27,73^2+25^2+27,73\cdot{25})\approx{10\,005,13}\)

Usando uma ideia bem simples: a altura do tronco de cone deve maior do que a metade, concorda? Se fosse um cilindro seria exatamente a metade (duas figuras iguais), mas como o cone inferior tem a base menor... precisará de mais altura para ter a metade do volume, concorda?

Abraços!

Espero ter ajudado!

[jorgeluis]

Baltuilhe,
o volume do tronco é inversamente proporcional a 3, você colocou 12, por quê?

[Baltuilhe]

Jorge, boa tarde!

Volume do tronco em função dos raios das bases:
\(V=\frac{H\pi}{3}(R^2+r^2+Rr)\)

Ou em função dos diâmetros:
\(V=\frac{H\pi}{3}\left[\left(\frac{D}{2}\right)^2+\left(\frac{d}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)\cdot\left(\frac{d}{2}\right)\right]
V=\frac{H\pi}{3}\frac{1}{4}(D^2+d^2+Dd)
V=\frac{H\pi}{12}(D^2+d^2+Dd)\)

Espero ter ajudado!

[jorgeluis]

entendi,
valeu Baltuilhe!