Fórum de Matemática
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Equação 1. 6(m − 1) sin^2(x) − (m − 1) sin(x) − m = 0

Equação 2. arctg((x+1)/2) - arctg((1-x)2/)= pi/4


Preciso determinar a solução destas 2 equações distintas. Se puderem contribuir agradeço desde já.

Em relação à primeira equação, se fizer a substituição \(t = \sin x\) obtém um equação do segundo grau para calcular t, depois é só determinar x.

Poderia mostrar?

Substituindo \(\sin x = t\) obtem a equação

\(6(m-1) t^2 - (m-1) t -m =0 \Leftrightarrow
t = \frac{(m-1) \pm \sqrt{(m-1)^2- 4 \times 6 \times (-m)}}{12(m-1)} =\frac{1}{12} \pm \frac{1}{12} \sqrt{1+\frac{24m}{(m-1)^2}}\)

Apenas existem soluções reais para a equação em \(t\) se \(1+\frac{24m}{(m-1)^2} \ge 0\). Além disso, recordando que \(t=\sin x\), sabemos que também devemos ter \(-1 \leq t \leq 1\).

Assim, para m dado, pode ver se existem soluções \(t\) e se elas são em módulo inferiores a um, por cada solução \(t_k\) nestas condições, pode determinar as soluções \(x\) correspondentes resolvendo a equação \(\sin x = t_k\).

Se calhar, vale a pena estudar o comportamento das soluções da equação quadratica em função de m.

Se m ≠ 1, a equação equivale a
\(6t^2 - t - m/(m-1) = 0\)
Seja f(t) o lado esquerdo. Isto é uma função quadrática. O gráfico é uma parabola, cujos ramos se dirigem para cima; a abcissa do vértice é 1/12. Facilmente se verifica que:
1. Os dois zeros de f pertencem ao intervalo [-1, 1] se, e somente se f(-1) ≥ 0, f(1) ≥ 0, D ≥ 0 (se D = 0, os zeros coincidem).
2. So o zero menor de f pertence ao intervalo [-1, 1] se, e somente se f(1) < 0, f(-1) ≥ 0.
2. So o zero maior de f pertence ao intervalo [-1, 1] se, e somente se f(-1) < 0, f(1) ≥ 0 (mas por razões de simetria é mais ou menos óbvio que isto não acontece).

Estes desigualdades podem ser escritas em termos de m para determinar correspondentes valores do parâmetro.

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Não sou português. Não sou simpático.

Quanto à segunda equação, tudo se simplifica se aplicar a tangente a ambos lados. Só que as equações A = B e tan A = tan B não equivalem, então é preciso tomar conta de que podem aparecer soluções estranhas. Felizmente, neste caso soluções não podem desaparecer.

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