Quadrado Inscrito
06 dez 2012, 17:22
O quadrado ABCD tem \(16\sqrt{5}\) cm de perímetro e C e D pertencem ao diâmetro \(\bar{EF}\) da circunferência.
Sabendo-se que o quadrado deita sobre o diâmetro \(\bar{EF}\) (da circunferência), de tal modo que o segmento
\(\bar{OC}\) é congruente ao segmento \(\bar{OD}\) e O é o ponto médio do diâmetro \(\bar{EF}\). Nessas condições, cal-
cule a medida do raio da circunferência e a medida do segmento \(\bar{EC}\).
Sabendo-se que o quadrado deita sobre o diâmetro \(\bar{EF}\) (da circunferência), de tal modo que o segmento
\(\bar{OC}\) é congruente ao segmento \(\bar{OD}\) e O é o ponto médio do diâmetro \(\bar{EF}\). Nessas condições, cal-
cule a medida do raio da circunferência e a medida do segmento \(\bar{EC}\).
Editado pela última vez por danjr5 em 16 jan 2013, 23:48, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título e LaTeX
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Re: Quadrado Inscrito [resolvida]
16 jan 2013, 23:23
- O perímetro do quadrado é \(16\sqrt{5}\), então:
\(\\ 2p = l + l + l + l \\\\ 4l = 2p \\\\ 4l = 16\sqrt{5} \\\\ \fbox{l = 4\sqrt{5} \: cm}\)
- Desenhado a figura...
- Já que \(\bar{OC} = \bar{OD}\) e \(\bar{OC} + \bar{OD} = \bar{CD}\), temos:
\(\\ \bar{OC} + \bar{OC} = 4\sqrt{5} \\\\ 2 \cdot \bar{OC} = 4\sqrt{5} \\\\ \fbox{\bar{OC} = \bar{OD} = 2\sqrt{5} \: cm}\)
- Aplicando o teorema de Pitágoras encontramos o valor do raio, veja:
\(\\ \bar{OB}^2 = \bar{BC}^2 + \bar{OC}^2 \\\\ r^2 = (4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 \\\\ r^2 = 16 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \\\\ r^2 = 80 + 20 \\\\ \fbox{\fbox{\fbox{r = 10 \: cm}}}\)
- Da figura, podemos notar que \(\bar{EC} = \bar{DF}\), e, como sabemos que o diâmetro vale o dobro do raio, segue que:
\(\\ \bar{EC} + \bar{OC} + \bar{OD} + \bar{DF} = 2 \cdot r \\\\ x + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + x = 2 \cdot 10 \\\\ 2x = 20 - 4\sqrt{5} \:\:\: \div(2 \\\\ \fbox{\fbox{\fbox{x = (10 - 2\sqrt{5}) \: cm}}}\)
\(\\ 2p = l + l + l + l \\\\ 4l = 2p \\\\ 4l = 16\sqrt{5} \\\\ \fbox{l = 4\sqrt{5} \: cm}\)
- Desenhado a figura...
- Já que \(\bar{OC} = \bar{OD}\) e \(\bar{OC} + \bar{OD} = \bar{CD}\), temos:
\(\\ \bar{OC} + \bar{OC} = 4\sqrt{5} \\\\ 2 \cdot \bar{OC} = 4\sqrt{5} \\\\ \fbox{\bar{OC} = \bar{OD} = 2\sqrt{5} \: cm}\)
- Aplicando o teorema de Pitágoras encontramos o valor do raio, veja:
\(\\ \bar{OB}^2 = \bar{BC}^2 + \bar{OC}^2 \\\\ r^2 = (4\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 \\\\ r^2 = 16 \cdot 5 + 4 \cdot 5 \\\\ r^2 = 80 + 20 \\\\ \fbox{\fbox{\fbox{r = 10 \: cm}}}\)
- Da figura, podemos notar que \(\bar{EC} = \bar{DF}\), e, como sabemos que o diâmetro vale o dobro do raio, segue que:
\(\\ \bar{EC} + \bar{OC} + \bar{OD} + \bar{DF} = 2 \cdot r \\\\ x + 2\sqrt{5} + 2\sqrt{5} + x = 2 \cdot 10 \\\\ 2x = 20 - 4\sqrt{5} \:\:\: \div(2 \\\\ \fbox{\fbox{\fbox{x = (10 - 2\sqrt{5}) \: cm}}}\)
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