Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, tenho uma dúvida que acredito ser bem simples pra quem manja ,

é o seguinte:

No sistema:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{2x + 3y}{5} = 10 - \frac{y}{3} & & \\ \frac{4y - 3x}{6}= \frac{3x}{4}+ 1 & & \end{matrix}\right.\)

Acredito que eu tenha que "simplificar" cada equação pra depois resolvê-las, seja por comparação, substituição e etc. Só que não consigo. Tento mmc direto, mas acaba não dando certo. Se alguém puder me ajudar, agradeço.

Olá Antenor,
seja bem-vindo ao nosso Fórum!
'Manja' [risos], isso não é legal!!
Brincadeiras à parte, vamos ao problema.

Tem razão! Devemos mexer nas equações de modo que fiquem na forma: \(ax + by = c\)

Equação I:

\(\frac{2x + 3y}{5} = 10 - \frac{y}{3}\)

MMC(5, 3) = 15

\(\\ 3(2x + 3y) = 15 \cdot 10 - 5y \\\\ 6x + 9y = 150 - 5y \\\\ 6x + 9y + 5y = 150 \\\\ \fbox{6x + 14y = 150}\)


Equação II:

\(\frac{4y - 3x}{6} = \frac{3x}{4} + 1\)

MMC(6, 4) = 12

\(\\ 2(4y - 3x) = 3 \cdot 3x + 12 \cdot 1 \\\\ 8y - 6x = 9x + 12 \\\\ - 6x - 9x + 8y = 12 \\\\ \fbox{- 15x + 8y = 12}\)

Pronto!
Consegue resolver o sistema abaixo:

\(\begin{cases} 6x + 14y = 150 \\ - 15x + 8y = 12 \end{cases}\)

_________________
Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

haha Foi um "manja" inocente. Daniel, valeu mesmo pela resposta. Eu eu deveria ter posto o resultado a que cheguei pra facilitar sua ajuda.

Na verdade eu tb cheguei nessa "simplificação" que vc chegou. Como não consegui achar o resultado dado pelo livro, S = {4,9}, pensei que o problema tava justamente nesse primeiro passo.

Mas, aproveitando o tópico, queria tirar outra dúvida. Como saber qual método seguir na resolução de um sistema? Tentei de todo jeito nesse aí, e não chego nesses benditos 4,9.

É isso, desculpe o incomodo e valeu mais uma vez.

Antenor,
o sistema pode ser resolvido por substituição ou adição. Existem essas duas formas de resolver, geralmente, dependendo das equação, um método é menos trabalhoso que o outro.

\(\begin{cases} 6x + 14y = 150 \:\:\: \div 2 \\ - 15x + 8y = 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3x + 7y = 75 \:\:\: \times 5 \\ - 15x + 8y = 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 15x + 35y = 375 \\ - 15x + 8y = 12 \end{cases}\)
----------------------------------
\(\\ 35y + 8y = 375 + 12 \\\\ 43y = 387 \\\\ \fbox{\fbox{y = 9}}\)

Para encontrar o valor de \(x\), devemos substituir o valor de \(y\) encontrado numa das equações, veja:

\(\\ 3x + 7y = 75 \\\\ 3x + 7 \cdot 9 = 75 \\\\ 3x + 63= 75 \\\\ 3x = 12 \\\\ \fbox{\fbox{x = 4}}\)

Espero ter ajudado!

Qualquer dúvida, retorne! Saiba também que não há incômodo algum, então, sinta-se a vontade e pergunte.

Daniel.

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
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Po, Daniel, valeu mesmo. Parece simples quando você faz. rs Na verdade, trocando em miúdos, eu não sei fazer sistema.

Por ex: Entendi que você dividiu por 2 e multiplicou por 5, pra depois fazer a adição, certo? Mas podemos dividir e multiplicar por qualquer número até encontrar um que dê pra "anular" o x? Como funciona isso?

Valeu pela compreensão. Não conhecia o fórum, mas vejo que vou usá-lo bastante. rs


Abraço.

Antenor,
boa noite!

Tomemos o sistema abaixo como exemplo:
\(\begin{cases} 2x + 2y = 14 \\ x - y = 1 \end{cases}\)

O objetivo da resolução por ADIÇÃO é eliminar uma das variáveis ao efetuar a soma, então:

\(\begin{cases} 2x + 2y = 14 \\ x - y = 1 \end{cases} \\ ---------- \\ 2x + x + 2y - y = 14 + 1 \\\\ 3x + y = 15\)

Como pode observar, não eliminamos nenhuma variável ao somar. Então, devemos multiplicar ou dividir uma das equações por um número, de modo que, ele se torne simétrico ao valor da outra equação (mesma variável).

Podemos escolher quem queremos eliminar, ou seja, eliminamos o \(x\) ou o \(y\);
Eliminemos o \(y\);
Para tornar os valores da variável \(y\) simétricos, devemos multiplicar a 2ª equação por \(2\), com isso:

\(\\ \begin{cases} 2x + 2y = 14 \\ x - y = 1 \:\:\:\:\:\: \times 2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} 2x + 2y = 14 \\ 2x - 2y = 2 \end{cases} \\ -------- \\ 2x + 2x + 2y - 2y = 14 + 2 \\\\ 2x + 2x + \cancel{2y} - \cancel{2y} = 14 + 2 \\\\ 4x = 16 \\\\ \fbox{x = 4}\)

Para achar o valor de \(y\), substitua \(x\) por \(4\) em qualquer equação.



Poderíamos ter escolhido eliminar o \(x\), mas, teríamos um pouquinho mais de trabalho. Ressalto que não estaria errado, veja:
Para tornar os valores da variável \(x\) simétricos, devemos multiplicar a 2ª equação por \(- 2\):

\(\\ \begin{cases} 2x + 2y = 14 \\ x - y = 1 \:\:\:\:\:\: \times - 2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} 2x + 2y = 14 \\ - 2x + 2y = - 2 \end{cases} \\ -------- \\ 2x - 2x + 2y + 2y = 14 - 2 \\\\ \cancel{2x} - \cancel{2x} + 2y + 2y = 14 - 2 \\\\ 4y = 12 \\\\ \fbox{y = 3}\)

Presumo que já saiba encontrar o valor de \(x\).

A propósito, procure resolver exercícios sobre Sistemas, isso vai ajudar ainda mais!

Até a próxima.

Daniel.

_________________
Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Hum, agora deu uma clareada. Beleza, Daniel. Valeus!!