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desafio! determinar expressão de função afim https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=13795 |
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Autor: | Matematiquei [ 05 mai 2018, 12:21 ] |
Título da Pergunta: | desafio! determinar expressão de função afim |
Considere a função afim f(x) cujo gráfico passa pelo ponto (8,3) e intersecta os eixos coordenados nos pontos (a, 0) e (0, -B-1), onde A e B são números reais positivos. Determine a expressão de f(x) sabendo que AB=8. Bem facil! |
Autor: | danjr5 [ 12 mai 2018, 04:52 ] |
Título da Pergunta: | Re: desafio! determinar expressão de função afim |
Olá! Matematiquei Escreveu: Considere a função afim f(x) cujo gráfico passa pelo ponto (8,3) e intersecta os eixos coordenados nos pontos (A, 0) e (0, -B-1), onde A e B são números reais positivos. Determine a expressão de f(x) sabendo que AB=8. De acordo com o enunciado, a função \(\mathbf{f}\) é afim, então consideremos \(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\). Condição I: \(\mathbf{(8, 3) \in f}\) \(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\) \(\mathbf{f(8) = 8 \alpha + \beta}\) \(\mathbf{8 \alpha + \beta = 3 \qquad \qquad \qquad \qquad (i)}\) Condição II: \(\mathbf{(A, 0), (0, - B - 1) \in f}\) com \(\mathbf{A, B \in \mathbb{R}_{+}}\) \(\begin{cases} \mathbf{f(A) = \alpha \cdot A + \beta} \\ \mathbf{f(0) = \alpha \cdot 0 + \beta} \end{cases}\) \(\begin{cases} \mathbf{0 = \alpha \cdot A + \beta} \\ \mathbf{- B - {1} = {0} + \beta} \end{cases}\) \(\begin{cases} \mathbf{\beta = - \alpha \cdot A \qquad \qquad (\ast)} \\ \mathbf{\beta = - B - 1 \qquad \qquad (\ast \ast)} \end{cases}\) Substituindo (**) em (*), \(\mathbf{\beta = - \alpha \cdot A}\) \(\mathbf{(- B - 1) = - \alpha \cdot A}\) \(\mathbf{\alpha = \dfrac{B + 1}{A} \qquad \qquad (\ast \ast \ast)}\) Por conseguinte, substituímos (**) e (***) em (i), veja: \(\mathbf{8 \alpha + \beta = 3}\) \(\mathbf{8 \cdot \dfrac{B + 1}{A} + (- B - 1) = 3}\) \(\mathbf{\dfrac{8(B + 1)}{A} = B + 4}\) Condição III: \(\mathbf{A \cdot B = 8}\) \(\mathbf{\dfrac{8(B + 1)}{A} = B + 4}\) \(\mathbf{8 \cdot (B + 1) = A \cdot (B + 4)}\) \(\mathbf{8 \cdot (B + 1) = \dfrac{8}{B} \cdot (B + 4)}\) \(\mathbf{(B + 1) = \dfrac{B + 4}{B}}\) \(\mathbf{B^2 + B = B + 4}\) \(\boxed{\mathbf{B = \{ 2 \}}}\) Daí, \(\boxed{\mathbf{A = \{ 4 \}}}\). Logo, temos que: \(\mathbf{f(x) = \alpha x + \beta}\) \(\mathbf{f(x) = \dfrac{B + 1}{A} \cdot x + (- B - 1)}\) \(\mathbf{f(x) = \dfrac{2 + 1}{4} x + (- 2 - 1)}\) \(\boxed{\boxed{\mathbf{f(x) = \dfrac{3}{4} x - 3}}}\) |
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