Termos de uma P.G. sabendo-se a soma dos termos e diferença entre os extremos.
14 fev 2017, 19:03
Boa tarde galera, estou com uma dúvida na seguinte questão:
"A soma dos termos de uma P.G. crescente de três termos positivos é 21 e a diferença entre os extremos é 9. Escreva a P.G"
Pensando um pouco, dá pra deduzir que é uma P.G de razão 2 e termos = (3, 6 e 12), porém, gostaria de saber como resolver com cálculos. Obrigado pela ajuda
"A soma dos termos de uma P.G. crescente de três termos positivos é 21 e a diferença entre os extremos é 9. Escreva a P.G"
Pensando um pouco, dá pra deduzir que é uma P.G de razão 2 e termos = (3, 6 e 12), porém, gostaria de saber como resolver com cálculos. Obrigado pela ajuda
Re: Termos de uma P.G. sabendo-se a soma dos termos e diferença entre os extremos. [resolvida]
14 fev 2017, 19:39
Seja x o primeiro termo e r a razão.
Assim temos a PG: x, xr, xr²
\(\begin{cases} x+xr+xr^2=21 & \\ xr^2-x=9 & \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x(1+r+r^2)=21 & \\ x(r^2-1)=9 & \end{cases}\)
\(\frac{21}{1+r+r^2}=\frac{9}{r^2-1}\Rightarrow 21r^2-21=9+9r+9r^2\Rightarrow 12r^2-9r-30=0\)
Onde vem:
\(r=2\: \vee \: r=-\frac{5}{4}\)
Como a PG é crescente temos r=2 e o x é dado por:
\(x=\frac{9}{r^2-1}=\frac{9}{4-1}=3\)
E temos 3,6,12
Assim temos a PG: x, xr, xr²
\(\begin{cases} x+xr+xr^2=21 & \\ xr^2-x=9 & \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x(1+r+r^2)=21 & \\ x(r^2-1)=9 & \end{cases}\)
\(\frac{21}{1+r+r^2}=\frac{9}{r^2-1}\Rightarrow 21r^2-21=9+9r+9r^2\Rightarrow 12r^2-9r-30=0\)
Onde vem:
\(r=2\: \vee \: r=-\frac{5}{4}\)
Como a PG é crescente temos r=2 e o x é dado por:
\(x=\frac{9}{r^2-1}=\frac{9}{4-1}=3\)
E temos 3,6,12