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Produto de uma Progressão Geométrica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=22&t=12055 |
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Autor: | petras [ 23 nov 2016, 18:11 ] |
Título da Pergunta: | Produto de uma Progressão Geométrica |
Estou com dificuldades nesta questão. Alguém poderia ajudar? Sejam Pn, P2n e P3n os produtos dos n, 2n e 3n primeiros termos, respectivamente, de uma progressão geométrica cujo primeiro termo a1 e cuja razão q são números reais não nulos. Então, o quociente P3n/(Pn.P2n) depende: (R: letra c) a) apenas de n. b) apenas de a1 e n. c) apenas de q e n. d) de q, a1 e n. e) nem de q, nem de a1, nem de n. |
Autor: | Sobolev [ 23 nov 2016, 21:27 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica [resolvida] |
Os termos da progressão são dados por \(a_n = a_1 q^n\), assim, \(P_n = \prod_{i=1}^n a_1 q^i = a_1^n q^{\frac{n(n+1)}{2}}\) \(P_{2n} = \prod_{i=1}^{2n} a_1 q^i = a_1^{2n} q^{\frac{2n(2n+1)}{2}}\) \(P_{3n} = \prod_{i=1}^{3n} a_1 q^i = a_1^{3n} q^{\frac{3n(3n+1)}{2}}\) \(\frac{P_{3n}}{P_n P_{2n}} = \dfrac{a_1^{3n} q^{\frac{3n(3n+1)}{2}}}{a_1^n q^{\frac{n(n+1)}{2}}a_1^{2n} q^{\frac{2n(2n+1)}{2}}}= q^{\frac 12(3n(3n+1)-n(n+1)-2n(2n+1))} = q^{2n^2}\) Opção (C). |
Autor: | petras [ 05 dez 2016, 23:03 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
Caro Sobolev, voltei a analisar esta questão e no expoente não haveria uma subtração no lugar da adição nas expressões dos produtos ? ou seja, teríamos P(n): \(a1^{n}.q^{\frac{n(n-1)}{2}}\) ... Se tivermos uma PG (1, 2, 4, 8) P(4) = 1 . 2 . 4 . 8 = 64 Na equação acima: 1 . 2^6 = 64 (OK) Na sua equação: 1 . 2^10 = 1024 (?) |
Autor: | Sobolev [ 06 dez 2016, 08:55 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
As fórmulas que escrevi partem do principio que ao primeiro termo da sucessão corresponde o índice \(n=1\). Para que ao exemplo que propõe ser aplicada a fórmula teríamos que olhar para a progressão como \(\frac 12 \cdot 2^1, \frac 12 \cdot 2^2, \frac 12 \cdot 2^3, \frac 12 \cdot 2^4\) ou seja, \(a_1 = \frac 12, n=4\), o que levaria a \(P_4 = \left(\frac 12 \right)^4 2^{\frac{4\times 5}{2}} = \frac{2^{10}}{2^4} = 2^6\) |
Autor: | petras [ 06 dez 2016, 12:49 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
Ainda não consegui compreender Sobolev: Voltando ao exemplo da PG (1, 2, 4, 8) P(4) = 1 . 2 . 4 . 8 = 64 P(3) = 1 . 2 . 4 = 8 P(2) = 1 . 2 = 2 P(1) = 1 \(a_1^{n}.q^{\frac{n(n-1)}{2}}\) a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4 e a4 = 8 Para n=1 temos P(1) = 1^1 . 2^0 = 1 Para n=2 temos P(2) = 1^2 . 2^1 = 2 Para n=3 temos P(3) = 1^3 . 2^3 = 8 Para n=4 temos P(4) = 1^4 . 2^6 = 64 Por que a necessidade de meu a1 ser = 1/2 se com a1 = 1 a expressão P(n) foi atendida para todo n como demonstrado? Voltando a sua expressão: Utilizando a mesma PG (1,2,4,8) \(P(1) = a_1^{n}.q^{\frac{n.(n+1)}{2}} = 1^{1} .2^{1}=2\\\\ P(2) = 1^{2} .2^{3}=8\\\\ P(3) = 1^{3} .2^{6}= 64\\\\ P(4) = 1^{4} .2^{10}=1024\)\\\\ Os resultados não conferem...??? onde está o erro? Você utilizou como termo geral da PG \(a^{n}=a^_1.q^{n}\) mas o temo geral não seria \(a_n=a_1.q^{n-1}\)? |
Autor: | Sobolev [ 06 dez 2016, 17:06 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
Não há qualquer icompatibilidade nos resultados... Como disse antes, a fórmula que escrevi pressupõe que o primeiro termo tem índice n=1. O termo geral da sucessão que propõe seria então \(a_n = \frac 12 \cdot 2^n, n =1,2,3, \cdots\) Se substituir obtém \(1, 2, 4, 8\), quando \(n=1, 2, 3, 4\). Assim, a fórmula que propus deve ser aplicada considerando \(a_1 = \frac 12\) e \(q = 2\) ( e neste exemplo concreto n=4). Voçê está a usar \(a_1 = 1\), o que não é correcto. Quando começamos os termos em n=1 e usamos a \(a_n = a_1 q^n\), devemos usar os valores que referi antes para \(a_1\) e \(q\). Na fórmula que construi \(a_1\) não é o primeiro termo da sucessão, é apenas uma constante que multiplica \(q^n\). \(1 \times 2 \times 4 \times 8 = P(4) = \left(\frac 12 \right)^4 2\frac{4(4+1)}{2}} = ...\) A sus fórmula também está correcta, correspondem a calcular as constantes considerando \(a_n = a_1 q^{n-1}\). As sucessões são as mesmas, mas a expressão dos termos gerais é diferente, e afórmula dos produtos deve ser adaptada em conformidade. Se lhe causa menos confusão, na minha fórmula não chame \(a_1\) à constante que multiplica \(q^n\)... |
Autor: | petras [ 06 dez 2016, 19:44 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
Realmente estava considerando seu a1 como primeiro termo e não como uma constante, por isso a inconsistência. Concluindo, então sua fórmula geral seria \(\frac{1}{2}^{n}.q^{\frac{n(n+1)}{2}\) e posso considerar minha fórmula também como correta? |
Autor: | Sobolev [ 06 dez 2016, 23:24 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
Sim, é isso mesmo! |
Autor: | petras [ 07 dez 2016, 02:36 ] |
Título da Pergunta: | Re: Produto de uma Progressão Geométrica |
Muito grato pelas explanações Sobolev, até a próxima! |
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