Funções crescentes, decrescentes, monótonas, pares, ímpares, derivadas no ponto, etc.
01 ago 2014, 23:51
Determine o conjunto de pontos onde a seguinte função é contínua:
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02 ago 2014, 01:04
Olá :D
Veja que quando \((x,y) \neq (0,0)\) a função é continua pois o limite da função em qualquer ponto obdecendo esta condição funciona como se fosse a função aplicada no ponto.Mas o problema aqui é quando \((x,y)=(0,0)\), então teremos que analisar pela definição de continuidade:
\(\lim_{ (x,y) \to (x_{0},y_{0}) } \; f(x,y)=f(x_{0},y_{0})\)
\(\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \; \frac{xy}{x^2+y^2+xy}=f(0,0)=0\)
temos que verificar se essa igualdade realmente é verdadeira :
\(\lim_{ (x,y) \to (0,0) } \; \frac{xy}{x^2+y^2+xy}\)
mas esse limite não existe, veja que pela regra dos caminhos :
por (x,0) :
\(\lim_{ x \to 0} \; \frac{x*0}{x^2+0^2+x*0}=0\)
por (x,x) :
\(\lim_{ x \to 0} \; \frac{x*x}{x^2+x^2+x*x}=\frac{1}{3}\)
logo como obtivemos valores diferente por curvas que passam por (0,0) o limite não existe,segue que a função não é contínua em (0,0).Com isso podemos afirmar que a função é continua em todos os pontos do plano menos (0,0) .