Mostre que f não é integrável em X

[Xico]

Seja X = [-7,7] e f:X → R definida por
\(f(x) = \left\{\begin{matrix} 7 &se &x &racional \\ -7 &se & x & irracional \end{matrix}\right.\)
Mostre que f não é integrável em X.

[Sobolev]

Tem que considerar partições do intervalo [-7,7]. Como em cada elemento de qualquer partição existem números racionais e irracionais, qualquer soma superior de Darboux tem o valor 98 (amplitude do intervalo * valor da função), e qualquer soma inferior de Darboux tem o valor -98. Se a função fosse integrável, o ínfimo das somas superiores teria que coincidir com o supremo das somas inferiores, o que não é o caso.