Números Complexos - Radiciação, raiz quadrada

[Gabriel]

Olá

Em relação a números complexos, creio que entendi muito bem do conceito, porém é na hora de aplicar algumas contas relacionadas ao seno e cosseno que me atrapalho.

Por exemplo:

´´Determine as raízes quadradas do número complexo z = 5-12i´´

Utilizando a 2a fórmula de Moivre, onde [IMG=http://img267.imageshack.us/img267/9492/clipimage0245b35d.gif][/IMG]


Sabendo que p= lzl ===> √{5² + (-12)²} = 13

E é aqui onde me atrapalho:

cosθ= x (parte real)/p = 5/13
senθ= y (parte im.)/p = -12/13

Está correto o valor dos angulos? Se sim, como continuar com os cálculos? se não, onde está o erro?

se puderem também, demonstrar a resolução de ∛-64.

Muito obrigado!!!

[João P. Ferreira]

Olá

A forma mais fácil de achar raizes de complexos é colocando o complexo na forma polar

\(z=a+ib=Ae^{\alpha i}\)

onde \(A=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) é a norma do complexo e \(\alpha=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)\) é o ângulo

depois de colocar o complexo na forma polar, para achar a primeira raiz quadrada é só fazer \(\alpha/2\)

repare que \(\sqrt{z}=z^{1/2}=\left(Ae^{\alpha i}\right)^{1/2}\)

cuja primeira raiz quadrda dá \(Ae^{\frac{\alpha}{2} i}\)

a segunda raiz quadrada é só somar \(\pi\) ao \(\frac{\alpha}{2}\)