Determine todos os números complexos Z, tais que : [resolvida]
26 Oct 2016, 00:53
Galera, alguém poderia me explicar como resolve esses exercícios?? Ficarei muito grato!!
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Re: Determine todos os números complexos Z, tais que :
26 Oct 2016, 08:19
Apenas tem que recordar a definição da exponencial complexa:
\(e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x \cos y+ i e^x \sin y\)
Assim, por exemplo,
\(e^z=-2 \Leftrightarrow e^x \cos y + i e^x \sin y = -2 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}e^x \cos y = -2\\ e^x \sin y = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}e^x (-1)^k = -2\\ y = k \pi \end{array}\right\)
Ora, a primeira equação só pode ser verificada se k for impar, dando origem a \(x = \ln 2\). Os números complexos que verificam a condição proposta são por isso \(z = \ln 2 + (2k+1) \pi i, k \in \mathbb{Z}\).
\(e^z = e^{x+iy} = e^x e^{iy} = e^x \cos y+ i e^x \sin y\)
Assim, por exemplo,
\(e^z=-2 \Leftrightarrow e^x \cos y + i e^x \sin y = -2 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}e^x \cos y = -2\\ e^x \sin y = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}e^x (-1)^k = -2\\ y = k \pi \end{array}\right\)
Ora, a primeira equação só pode ser verificada se k for impar, dando origem a \(x = \ln 2\). Os números complexos que verificam a condição proposta são por isso \(z = \ln 2 + (2k+1) \pi i, k \in \mathbb{Z}\).