Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boas, tenho as seguintes equações:
\(z^6-64=0\)
\(z^4-z=0\)

Quais são os procedimentos para resolver isto? O livro onde este exercício se encontra, vem com um exemplo que utiliza o seguinte método:
\(z^4+14=0\Leftrightarrow z^4=-14\rightleftharpoons z=\sqrt[4]{-14}=\sqrt[4]{14\;cis\;\pi}=\sqrt[4]{14}\;cis\;(\frac{\pi-2k\pi}{4}),k\in {0,1,2,3}\)
O código TEX não aparece no preview... Caso não mostre no tópico:

Desse exemplo, assumindo que se aplica aos problemas dados (ou pelo menos ao primeiro...), o resultado que obtenho não se enquadra com as soluções... Bem longe disso. O que não percebo do exemplo é... De onde é que eles foram buscar o \(cis\;\pi\)

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Cumprimentos!
~C. Dinis

Veja por exemplo a primeira... Se escrever \(z = r e^{it}\), a equação escreve-se como

\(z^6-64 = 0 \Leftrightarrow r^6 e^{6t i} = 2^6 e^{0i}\)

Ora, dois números complexos escritos na forma trigonométrica são iguais se os módulos forem iguais e os argumento diferirem de um múltiplo de \(2 \pi\). Neste caso deverá ter

\(r = 2, \qquad 6t = 0 + 2k \pi\)

Consegue prosseguir?

Não conheço esse método :/ Isso faz parte do programa de Matemática A do Secundário? (se não fizer não o poderei utilizar em exame)

Acabei por resolver da seguinte forma: (que penso ser esse o objetivo)
\(z^6=64\Leftrightarrow \rho ^6\;cis\;6\theta=64\;cis\;0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho^6=64 \\ 6\theta=0+2k\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho=2 \\ \theta=\frac{k\pi}{3} \end{matrix}\right.\)
Logo,
\(\begin{matrix} k=0 & \theta=0 & z=2\\ k=1 & \theta=\frac{\pi}{3} & z=2\;cis\;\frac{\pi}{3}\\ k=2 & \theta=\frac{2\pi}{3} & z=2\;cis\;\frac{2\pi}{3}\\ k=3 & \theta=\pi & z=-2\\ k=4 & \theta=\frac{4\pi}{3} & z=2\;cis\;\frac{4\pi}{3}\\ k=5 & \theta=\frac{5\pi}{3} & z=2\;cis\;\frac{5\pi}{3} \end{matrix}\)

Solução:
\(S:\{2;2\;cis\;\frac{\pi}{3};2\;cis\;\frac{2\pi}{3};-2;2\;cis\;\frac{4\pi}{3};2\;cis\;\frac{5\pi}{3}\}\)


É impressão minha, ou acaba por ser a mesma coisa, mas com mais "tralha" pelo meio?

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~C. Dinis

É exactamente a mesma coisa... Na verdade \(\rho cis \theta = \rho e^{i \theta}\). Existem no entanto várias vantagens em escrever na forma de uma exponencial, começando por não ter que decorar mais regras operatórias. Além disso põe em evidência a ligação entre a exponencial e as funções trigonométricas, mas tal só se torna útil em tópicos mais avançados.

Tentando resolver a segunda alínea, pelo mesmo método, o resultado não corresponde ao das soluções...
\(z^4-z=0\Leftrightarrow (\rho \;cis\;\theta)^4=\rho\;cis\;\theta\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho^4=\rho\\ 4\theta=\theta+2k\pi \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho^4-\rho=\rho(\rho^3-1)=0\\ \theta=\frac{2k\pi}{3} \end{matrix}\right.,k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho=0\\ ... \end{matrix}\right.\)\(\vee \left\{\begin{matrix} \rho^3=1\\ ... \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \rho=0\\ \theta=\frac{2k\pi}{3} \end{matrix}\right.\vee\left\{\begin{matrix} \rho=1\\ \theta=\frac{2k\pi}{3} \end{matrix}\right.\)

Tendo em conta que isso está certo, os resultados obtidos seriam os seguintes:
\(\begin{matrix} \rho=0 & & & z=0\\ \rho=1 & k=0 & \theta=0 & z=cis0=1\\ \rho=1 & k=1 & \theta=\frac{2\pi}{3} & z=cis\;\frac{2\pi}{3}\\ \rho=1 & k=2 & \theta=\frac{4\pi}{3} & z=cis\;\frac{4\pi}{3} \end{matrix}\)

Nas soluções, encontra-se o seguinte:
\(S:\{0;cis\frac{\pi}{3};-1;cis\frac{5\pi}{3}\}\)

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~C. Dinis

Na sua resolução esqueceu o "-z"... fez tudo como se tivesse apenas \(z^4=0\). Tratando-se de um "corpo", é válida nos complexos a lei do anulamento do produto...

\(z^4 - z = 0\Leftrightarrow z (z^3-1) = 0 \Leftrightarrow z = 0 \vee z^3 {=} 1\)

por outro lado,

\(z^3=1 \Leftrightarrow \rho^3 cis (3 \theta) = 1 \,cis 0 \Leftrightarrow \rho = 1 \wedge \theta = \frac{2k \pi}{3}\)

\(S = \{0, cis 0, cis \frac{2\pi}{3}, cis \frac{4\pi}{3}\} = \{0,1,cis \frac{2\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3} \}\)

A solução que mostrou está claramente errada...bast ver por exemplo que \((-1)^4-(-1) \ne 0\), pelo que -1 não é solução da equação.

Vá lá que desta vez foi o livro que se enganou (ou melhor ainda, quem o escreveu...)

Está tudo então. Muito obrigado pela ajuda! Cumprimentos!

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Cumprimentos!
~C. Dinis