Descobri um Padrão Matemático?

[Hugo Farias]

Boa noite,
Perdoem-me eventual ingenuidade de minha pergunta, que consta do título.
Ocorre que, acidentalmente, percebi algo que penso ser um padrão, e gostava de saber se se trata disto realmente.
Adicionalmente, ficava agradecido se me pudessem esclarecer alguma explicação sobre sua ocorrência e/ou alguma sua utilidade.
O padrão seria o seguinte:
1) Divida qualquer número por outro maior que ele (ex: 20/15);
2) Divida "o número utilizado como divisor na 1ª operação" (o nº 15, agora dividendo nesta 2ª operação, e em todas as demais operações daqui em diante) pela parte decimal do quociente encontrado ao fim da 1ª operação (o quociente encontrado foi 1,33333333333333; portanto, o divisor, nesta 2ª operação, será 0,33333333333333);
3) Repita o passo anterior, mantendo o mesmo dividendo (o nº 15); mas adaptando o divisor, que será a parte decimal do quociente encontrado ao fim da 2ª operação (o quociente encontrado foi 45,0000000000005; portanto, o divisor, nesta 3ª operação, será 0,0000000000005);
4) Resultado: "30.000.000.000.000" inteiros.

Assim, o cogitado padrão seria o de que "sempre se chega a um número inteiro".

Seguem as operações e os respectivos resultados parciais e final referentes ao exemplo fornecido (20 divididos por 15):

20/15=1,33333333333333
15/0,33333333333333=45,0000000000005
15/0,0000000000005=30000000000000

Obs: em outros casos, são necessárias muito mais operações até que se chegue ao resultado final (o número inteiro).

Agradeço, em antecipação, algum esclarecimento.

Atenciosamente,

Hugo de Farias Santos

[Sobolev]

Tenha cuidado que pode estar a ser enganado por erros de arredondamento... No caso que considerou, se fizer as contas de modo exacto, vê que

\(\frac{20}{15} = \frac{15}{15} + \frac{5}{15}\)

No segundo passo a operação realizada é

\(\frac{15}{5/15} = 3 \times 15 = 45\)

Para perceber melhor o que se passa deve pensar no algoritmo de divisão inteira. Imagine que começa com \(\frac mn\). Ao fazer a divisão inteira, obtém \(\frac mn = q_1 + \frac{r_1}{n}\), em que \(q_1, r_1\) são o quociente e o resto da divisão inteira de m por n (note que \(r_1 \in \{0, \cdots , n-1\}\)) . No segundo passo, vai dividir n por \(r_1/n\), obtendo \(\frac{n^2}{r_1}\), fazendo novamente a divisão inteira obtem \(\frac{n^2}{r_1} = q_2 + \frac{r_2}{r_1}\), em que desta vez \(r_2 \in \{0,\cdots, r_1-1\}\). Assim, vê que a cada passo o resto diminui em pelo menos uma unidade, atingindo o valor zero ao fim de, no máximo, \(n\) passos.

[Hugo Farias]

Para ser bem sincero, não entendi a explicação, mas também não mencionei que sou leigo na matéria.
De qualquer forma, sua resposta me basta, pois me convenceu de que posso descartar isso.
Muito obrigado pelo seu tempo!
Grande abraço,
Hugo

[Hugo Farias]

Em tempo, perdoe-me por não ter direcionado melhor sua resposta.
Atenciosamente,
Hugo

[Sobolev]

A ideia é simples: quando faz a divisão inteira de dois números inteiros, obtém um resto; se o resto for zero, isso quer dizer que a divisão é exacta, que obtemos um inteiro ao realizar a divisão (usual, não a inteira). O que mostrei é que a cada passo do processo que propôs o resto vai sempre ficando menor, pelo que acabará por ser zero

[Hugo Farias]

Entendi, sobolev.
Muito obrigado!