Questão de Induçao Finita

[Amanda GP]

Olá, estou precisando de ajuda para resolver essa questão do PIF, como nao encontrei nenhum tópico específico postei aqui.

''Dado um inteiro positivo n, definimos T(n,1) = n e, para todo k≥1, T(n,k+1) = n^T(n,k). Prove que existe c ∊ N tal que, para todo k≥1, T(2010,k)< T(2,k+c). Determine o menor inteiro positivo c com essa propiedade.''

Obrigada!

[Rui Carpentier]

Fazendos a contas temos que:
\(T(2,3)=16<T(2010,1)=2010<T(2,4)=2^{16}=65536\)
Portanto \(c\) é pelo menos igual a 3.
De fato, pode-se mostrar que \(c=3\) serve para todo o \(k\). Ou seja, \(T(2010,k)<T(2,k+3)\) para qualquer natural \(k\).
A maneira de fazer tal é mostrar por indução a condição mais forte:
\(T(2,k+3)>(\log_2(2010)+1)T(2010,k)\) o que não é difícil.

Difícil foi determinar a condição que deve ser demonstrada por indução. Para isso é necessário experimentar um pouco, aperceber que poderá ser necessário para o passo de indução demostrar uma condição mais forte tipo \(T(2,k+3)>\alpha T(2010,k)\) com uma constante \(\alpha\) tal que \(2^{\alpha T(2010,k)}>2010^{T(2010,k)}\times\alpha\) e \(65536<2010\alpha\). Depois é só ver que \(\alpha =\log_2(2010)+1\) está nessas condições.