Mostre que 101^50 > 99^50 + 100^50
29 mai 2013, 04:38
Bom dia.
Não consigo resolver.
Podem me ajudar?
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Re: Mostre que 101^50 > 99^50 + 100^50
30 mai 2013, 17:11
O modo como o vou resolver pode não ser o mais elementar, mas se tiver alguns conhecimentos de cálculo integral pode seguir o raciocínio.
Considere a função \(f(x)=(100+x)^{50}\), então
\(101^{50}-99^{50}=f(1)-f(-1)=\int_{-1}^{1}f'(x)dx=\int_{-1}^{1}50(100+x)^{49}dx\)
Usando o binómio de Newton temos \((100+x)^{49}=\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}x^k\). Logo,
\(101^{50}-99^{50}=\int_{-1}^{1}50(100+x)^{49}dx=50\int_{-1}^{1}\left(\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}x^k\right) dx=50\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}\int_{-1}^{1}x^k dx\).
Como \(\int_{-1}^{1}x^k dx=\frac{1-(-1)^{k+1}}{k+1}\geq 0\) (ou seja todos os termos da soma são não-negativos) podemos tormar apenas o primeiro termo e obtemos
\(101^{50}-99^{50}=50\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}\int_{-1}^{1}x^k dx >50{49\choose 0}100^{49-0}\int_{-1}^{1}x^0 dx=50\times 100^{49}\times 2=100^{50}\).
Considere a função \(f(x)=(100+x)^{50}\), então
\(101^{50}-99^{50}=f(1)-f(-1)=\int_{-1}^{1}f'(x)dx=\int_{-1}^{1}50(100+x)^{49}dx\)
Usando o binómio de Newton temos \((100+x)^{49}=\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}x^k\). Logo,
\(101^{50}-99^{50}=\int_{-1}^{1}50(100+x)^{49}dx=50\int_{-1}^{1}\left(\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}x^k\right) dx=50\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}\int_{-1}^{1}x^k dx\).
Como \(\int_{-1}^{1}x^k dx=\frac{1-(-1)^{k+1}}{k+1}\geq 0\) (ou seja todos os termos da soma são não-negativos) podemos tormar apenas o primeiro termo e obtemos
\(101^{50}-99^{50}=50\sum_{k=0}^{49}{49\choose k}100^{49-k}\int_{-1}^{1}x^k dx >50{49\choose 0}100^{49-0}\int_{-1}^{1}x^0 dx=50\times 100^{49}\times 2=100^{50}\).