Todas as dúvidas que tenha sobre arranjos simples, completos, combinações ou probabilidades
31 mar 2012, 00:47
Boas
Precisava de mostrar esta igualdade, para n>= 1:
\(\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}= n^2\)
Tentei fazer exercício com o seguinte raciocínio:
Sei que o coeficiente binomial = \(\binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
1.
Lei de Pascal para o primeiro porque 1<= k <= n:
\(\binom{n+2}{3} = \binom{n+2-1}{3-1}+\binom{n+2-1}{3}\)
2.
Coeficiente binomial para o segundo:
\(\binom{n}{3} = \frac{n!}{3!(n-3)!\)
Não sei ao certo se estou a ir pelo caminho certo.
Agradeço ajuda.
Cardoso.
31 mar 2012, 17:47
Boa tarde.
Eu julgo que essa igualdade não seja possível.
Basta tentar n=1 e não temos os mesmos valores.
Será que estou certo?
\((n-3)!\) para n=1 é factorial de -2 que é indefinido.
01 abr 2012, 00:10
Boa noite.
Obrigado Jorge pela opinião.
Se eu substituir n por qualquer valor vai sempre ser verdadeira esta igualdade.
A questão é tentar desenvolver o lado esquerdo da igualdade.
Tentei resolver a primeira com a lei de pascal, e a segunda com coeficiente binomial, mas não consigo ultrapassar.
Alguém me consegue ajudar.
Obrigado.
Cardoso
01 abr 2012, 11:36
Se tentar usar indução para provar a igualdade, ela falha para n=1. E o universo, pelo que vi é n>=1. Não será uma boa base para provar que não é possivel?
02 abr 2012, 15:23
Meu caro
Então se \(\binom{n+2}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n+1}{3}\)
Também sabemos que:
\(\binom{n+1}{3}=\binom{n}{2}+\binom{n}{3}\)
Ora então:
\(\binom{n+2}{3}-\binom{n}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}+\binom{n}{3}-\binom{n}{3}=\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}\)
Desenvolvamos então:
\(\binom{n+1}{2}+\binom{n}{2}=\frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{(n+1)n!}{2(n-1)(n-2)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n!((n+1)+(n-1))}{2(n-1)(n-2)!}=\\=\frac{n.n!}{(n-1)!}=\frac{n.n!}{\frac{n!}{n}}=n^2\)
cqd
Cumprimentos
02 abr 2012, 16:11
Da minha parte obrigado.
Confesso que estou básico nisto. No entanto por uma base de indução porque falha para o teste com n=1?
02 abr 2012, 17:26
Meu caro, não falha para \(n=1\) pois \(\binom{1}{3}=0\) e \(\binom{3}{3}=1\)
Vede:
http://en.wikipedia.org/wiki/Combination
02 abr 2012, 18:35
Pela definição genérica de factorial a expressão falha (no entanto percebi agora que ela só pode ser usada quando k<=n...), bolas!
Mas pela expressão base tal poderia ser demonstrado, conforme fez.
Obrigado e muito esclarecido.
Grato por se ter dado ao trabalho de responder a uma dúvida, de facto básica.
03 abr 2012, 00:49
Não tem de quê meu caro, estamos aqui para isso
Cumprimentos
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