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| Achar a quantidade de pessoas! https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=19&t=12823 |
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| Autor: | hfontes32 [ 09 jun 2017, 01:05 ] |
| Título da Pergunta: | Achar a quantidade de pessoas! |
Em uma festa, estavam presentes homens e mulheres, sendo que havia 5 homens a mais do que mulheres. Cada homem conversou com cada outro homem, cada mulher conversou com cada outra mulher e cada homem conversou com cada mulher, num total de 253 conversas. O número total de pessoas nessa festa era, incluindo homens e mulheres. (Por gentileza coloquem uma maneira fácil de resolução) |
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| Autor: | Sobolev [ 09 jun 2017, 12:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Achar a quantidade de pessoas! |
Seja m e h o número de mulheres e de homens, respetivamente. Então sabe que: 1. \(h = m +5\) 2. O número de conversas entre homens é dado pelo número de combinações de h homens, dois a dois. O número de conversas entre mulheres é dado pelo número de combinações de m mulheres duas a duas. O número de conversas entre homens e mulheres é dado por h x m. O número total de conversas é 253. Então \(\binom{h}{2} + \binom m2 + mh = 253 \Leftrightarrow \binom{m+5}{2} + \binom{m}{2} + m(m+5)=253 \Leftrightarrow \dfrac{(m+5)!}{(m+3)! 2!} + \dfrac{m!}{(m-2)! 2 !} + m(m+5) = 253\Leftrightarrow \frac 12 (m+5)(m+4) + \frac 12 m(m-1) + m(m+5) =253\Leftrightarrow m = -\frac{27}{2} \vee m=9\) Como a primeira solução é claramente não admissível, a resposta será m = 9. Assim, existem na festa 9 mulheres e 14 homens, num total de 23 pessoas. |
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| Autor: | hfontes32 [ 10 jun 2017, 17:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Achar a quantidade de pessoas! |
Existe algum método mais fácil, pois não entendi como vc chegou a este resultado! |
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| Autor: | Sobolev [ 11 jun 2017, 15:10 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Achar a quantidade de pessoas! |
Não creio que exista alguma forma mais fácil. Em problemas que envolvem contagem de configurações, tem que saber proceder a essas contagens, usando combinações, arranjos, permutações, etc. O que pode é procurar por combinações e ver a razão de ser da respetiva fórmula... |
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| Autor: | hfontes32 [ 13 jun 2017, 17:38 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Achar a quantidade de pessoas! |
Na verdade eu não entendi como vc chegou, nos resultados a partir da 3° linha, poderia detalhar-me? |
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| Autor: | Sobolev [ 13 jun 2017, 17:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Achar a quantidade de pessoas! |
O número de formas de escolher p objetos num conjunto de n objetos (sem interessar a ordem) é chamado de "combinações de n objetos p a p" e calcula-se como \(\binom np = \frac{n!}{p!(n-p)!}\). Por sua vez \(n! = n(n-1)(n-2) \cdots 1, \quad p! = p (p-1)(p-2) \cdots 1, \quad (n-p)! = (n-p)(n-p-1)\cdots 1\) Então, por exemplo \(\frac{(m+5)!}{(m+3)! 2!} = \frac{(m+5)(m+4)(m+3)(m+2) \cdots 1}{(m+3)(m+2)\cdots 1 \times (1 \cdot 2)} = \frac{(m+5)(m+4)}{2}\) É com simplificações deste género que se passa da terceira para a quarta linha. Depois é só resolver a eq. do segundo grau que aparece. |
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