Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal, quem pode me ajudar a resolver este desafio?

52 matemáticos foram sequestrados e reunidos em uma sala. Os sequestradores lhes propõe um desafio de vida ou morte, todos os 52 matemáticos serão separados em 52 salas diferentes com uma mesa no centro. Sobre cada mesa haverá 52 fotos dos rostos de cada um dos matemáticos viradas para baixo, na mesma ordem em todas as salas. Não há comunicação entre as salas. Para sobreviver cada matemático deverá virar a foto correspondente ao seu proprio rosto e terá 26 chances para realizar o feito. Apenas se todos os marematicos conseguirem eles sobreviverão, caso pelo menos um não conseguir, todos morrerão. É possível formar uma estratégia que suba probabilidade de todos sobreviverem para mais de 1/4?

Trata-se de uma variação de um problema que pode encontrar na net neste vídeo e a sua solução neste outro vídeo.
No fundo a estratégia (que tem de ser combinada pelos matemáticos antes de verem as fotos) é ordenar/numerar as pessoas (pode ser por ordem alfabética) e quando forem a virar as fotos cada um segue do seguinte modo: vira a foto correspondente ao seu número, se for outra pessoa vire em seguida a foto correspondente ao número dessa pessoa e continue o processo até virar no máximo 26 fotos ou virar a sua foto. Por exemplo, a pessoa nº7 começa por virar a foto nº7, se lá estiver o rosto da pessoa nº3 vire a foto nº3, se lá estiver o rosto da pessoa nº11 vire a foto nº11, se lá estiver o rosto da pessoa nº7 terminou (virou a sua foto).
Olhando para a ordenação das fotos como uma permutação da ordenação das pessoas, este método só falha se houver um ciclo com tamanho superior a 26 nessa permutação. A probabilidade de isso acontecer é: \(p=\frac{1}{52!}\sum_{i=27}^{52}{52\choose i}\times (i-1)!\times (52-i)!=\sum_{i=27}^{52}\frac{1}{i}<\ln 52 - \ln 26 < 3/4\). Logo a probabilidade de sobrevivência é maior que 1/4.