Encontrar UMA das soluções da EDO (1-x²)y''-2xy'+12y=0

[cezaraccioly]

Estou com uma lista de EDO's para resolver e não consegui sair dessa:

(1-x²)y''-2xy'+12y=0

[João P. Ferreira]

Trata-se de uma EDO linear de ordem 2, com coeficientes não constantes.

Talvez esta ligação ajude, mas não garanto:

[Man Utd]

\((1-x^2)y''-2xy'+12y=0\)


Usando a solução em série em um ponto ordinário : \(y=\sum_{n=0}^{+\infty} \; a_{n} x^{n}\) :



\((1-x^2)*\sum_{n=2}^{+\infty} \; a_{n} n(n-1) x^{n-2}-2x*\sum_{n=1}^{+\infty} \; a_{n}n x^{n-1}+12\sum_{n=0}^{+\infty} \; a_{n} x^{n}=0\)



\(\sum_{n=2}^{+\infty} \; a_{n} n(n-1) x^{n-2}-\sum_{n=2}^{+\infty} \; a_{n} n(n-1) x^{n}-\sum_{n=1}^{+\infty} \; 2a_{n}n x^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \; 12a_{n} x^{n}=0\)



\(\sum_{n=0}^{+\infty} \; a_{n+2} (n+2)*(n+1) x^{n}-\sum_{n=0}^{+\infty} \; a_{n} n(n-1) x^{n}-\sum_{n=0}^{+\infty} \; 2a_{n}n x^{n}+\sum_{n=0}^{+\infty} \; 12a_{n} x^{n}=0\)




\(\sum_{n=0}^{+\infty} \; a_{n+2} (n+2)*(n+1) x^{n}-a_{n} n(n-1) x^{n}-2a_{n}n x^{n}+12a_{n} x^{n}=0\)




\(\sum_{n=0}^{+\infty} \; \left[ a_{n+2} (n+2)*(n+1) -a_{n} n(n-1) -2a_{n}n +12a_{n} \right]x^{n}=0\)




Daí a fórmula de recorrência : \(a_{n+2} (n+2)*(n+1) -a_{n} n(n-1) -2a_{n}n +12a_{n} =0\)


Consegue avançar???