Solução geral da equação dada

[ivoski]

qual seria uma solução geral de
y´= \(\frac{y^{2}-2xy}{x^2}\)
(x>0 e y>0)

[Man Utd]

Olá :D


Bastar utilizar a substituição : \(u=\frac{y}{x} \;\;\; \rightarrow \;\;\; y^{\prime}=u^{\prime}x+u\) (Pois esta eq. dif é uma equação homogenea) :


\(u^{\prime}x+u=u^{2}-2u\)


\(u^{\prime}x=u^{2}-3u\)


\(u^{\prime}=\frac{u^{2}-3u}{x}\)


\(\frac{du}{dx}=\frac{u^{2}-3u}{x}\)


\(\frac{du}{u^{2}-3u}=\frac{dx}{x}\)


\(\int \; \frac{du}{u^{2}-3u}=\int \; \frac{dx}{x}\)


Tente concluir...

[ivoski]

antes de tudo te agradeço pela ajuda
mas ainda estou enrolado na questao
integrando cheguei a
\(\frac{1}{3}(ln(3-u))-ln(u)= ln(x)\)
substituindo
\(\frac{1}{3}(ln(3-\frac{y}{x}))-ln(\frac{y}{x})= ln(x)\)
parei aqui, nao sei se com manobras algebricas consigo chegar ao gabarito

gabarito: y = \(\frac{3x}{1-Cx^3}\)

obrigado

[Man Utd]

Olá :D


Perceba que esqueceu de colocar a constante depois de integrar .

\(\frac{1}{3}(\ln (3-u))-\ln (u)=\ln (x)+C\)


\(\frac{1}{3}\left( \ln \left(3-\frac{y}{x} \right) \right)-\ln \left(\frac{y}{x} \right)=\ln (x)+C\)


\(\frac{1}{3}\left( \ln \left( \frac{3-\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} } \right) \right)=\ln (x)+C\)


\(\ln \left( \frac{3-\frac{y}{x}}{\frac{y}{x} } \right) =3\ln (x)+3C\)


\(\ln \left( \frac{3x}{y}-1 \right) =3\ln (x)+C\)


\(\ln \left( \frac{3x}{y}-1 \right) =\ln (x^{3})+C\)


\(\frac{3x}{y}-1=x^{3}C\)


\(\frac{3x}{y}=x^{3}C+1\)


\(y=\frac{3x}{x^{3}C+1}\)



este é o resultado , confira o gabarito ou até mesmo a questão.