Resolver Equaçao diferencial | dy/dx=y/(x^2+2x+1)

[aacc]

Boa tarde!

Alguém sabe se o seguinte resultado da equação diferencial está correcto:

dy/dx=y/x^2+2x+1 em que x>-1 e y(0)=1

resultado - y = x^2+2x+1

[João P. Ferreira]

Meu caro, presumo que se refira a esta eq. diferencial:

\(y'=\frac{y}{x^2}+2x+1\)

é a esta eq. diferencial que se refere?

[aacc]

A eq. diferencial é:

Y´= y sobre (x^2+2x+1)

Não sei se me fiz entender.

[João P. Ferreira]

Meu caro, posso estar a ver mal a coisa, mas se a eq. dif. é

\(y'=\frac{y}{x^2+2x+1}\)

e você diz que o resultado deveria ser:

\(y = x^2+2x+1\)

pode-se tentar comprová-lo para ver se está certo

Se \(y = x^2+2x+1 \ \ => \ \ y'=2x+2\)

Então substituindo:

\(y'=\frac{y}{x^2+2x+1}\)

\(2x+2=\frac{x^2+2x+1}{x^2+2x+1} \ <=> \ 2x=-1 \ <=> \ x=-1/2\)

Ou seja, dá apenas um ponto em x, logo n me parece que essa seja a solução, mas posso estar a ver mal a coisa

Cumprimentos

[João P. Ferreira]

Caríssimo, voltando ainda ao seu problema apresento-lhe a respetiva solução:

\(y'=\frac{y}{x^2+2x+1}\)

é uma eq. dif. de 1ª ordem

então:

\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^2+2x+1} \ <=>\)

\(<=> \ \frac{1}{y}dy=\frac{1}{x^2+2x+1}dx \ <=>\)

\(<=> \ \int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{x^2+2x+1}dx \ <=>\)

\(<=> \ \int\frac{1}{y}dy=\int\frac{1}{(x+1)^2}dx \ <=>\)

\(<=> \ ln|y|=-\frac{1}{x+1}+C \ <=>\)

\(<=> \ y=e^{-\frac{1}{x+1}}.C \ <=>\)

Como \(y(0)=1, \ \ C=e\) que resulta em:

\(y(x)=e^{-\frac{1}{x+1}}.e = e^{-\frac{1}{x+1}+1} = e^{\frac{x}{x+1}}\)


Pode confirmar o resultado aqui:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+dy%2Fdx%3D+y%2F%28x%5E2%2B2x%2B1%29%2C+y%280%29%3D1

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