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\(x^2(d^2y/dx^3)-(4xdy/dx)+6y=6x+12\)
Meu maior problema não está sendo em achar a solução homogênea e particular, e sim em saber o que fazer com esse \(dx^3\) o máximo que consegui deduzir é que esse valor pode ser fatorado em \(dx^2 *x\) e o x passa pro outro lado da expressão multiplicando.
Me corrijam se eu estiver errado.

Tal como está, o enunciado não faz sentido. Para identificar o problema com uma equação diferencial não pode ter nenhum "dx" de sobra...