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Equações diferenciais de primeira ordem https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=13577 |
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Autor: | jcbds [ 20 jan 2018, 06:24 ] |
Título da Pergunta: | Equações diferenciais de primeira ordem |
Boa noite sou novo aqui, alguém poderia me ajudar a solucionar o seguinte problema: Diferenciar cada uma das seguintes relações em relação a x e, usando o resultado para eliminar a constante c, obtenha uma equação diferencial de primeira ordem da qual a relação dada define uma solução de um parâmetro Exemplo 1 y=ce^x y'=ce^x y'=y y'-y=0 Exercícios a) y=((c^e)^x^2)+2x b) y=1/(c-x^2) c) (x^2)+(y^2)=c^2 |
Autor: | jorgeluis [ 20 jan 2018, 21:15 ] |
Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais de primeira ordem |
jcbds, parece simples, desde que se conheçam as propriedades dos logaritmos naturais e das derivadas: a) \(y=(C^e)^{x^2}+2x y=C^{ex^2}+2x\) como, \(\ln x^2=0\) então, \(y=C^{ex^2}+2x y=1+2x\) consequentemente, \({y}'= 2\) assim, \({y}'-y=0 2-(1+2x)=0 x=\frac{1}{2}\) b) corrigida \(y= \frac{1}{(C-x^2)} {y}'= \frac{{-(C-x^2)}'}{(C-x^2)^2} {y}'= \frac{-(-2x)}{(C-x^2).(C-x^2)} {y}'= \frac{(2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}\) assim, \({y}'=y^2 \frac{(2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}= \frac{1}{(C-x^2).(C-x^2)} 2x=1 x=\frac{1}{2}\) |
Autor: | jcbds [ 21 jan 2018, 00:37 ] |
Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais de primeira ordem |
jorgeluis Escreveu: jcbds, parece simples, desde que se conheçam as propriedades dos logaritmos naturais e das derivadas: a) \(y=(C^e)^{x^2}+2x y=C^{ex^2}+2x\) como, \(\ln x^2=0\) então, \(y=C^{ex^2}+2x y=1+2x\) consequentemente, \({y}'= 2\) assim, \({y}'-y=0 2-(1+2x)=0 x=\frac{1}{2}\) b) \(y= \frac{1}{(C-x^2)} {y}'= \frac{{(C-x^2)}'}{(C-x^2)^2} {y}'= \frac{(C-2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}\) assim, \({y}'-y=0 {y}'=y \frac{(C-2x)}{(C-x^2).(C-x^2)}= \frac{1}{(C-x^2)} C-2x=C-x^2 x^2-2x=0 x(x-2)=0 x=0 ou x=2\) Na b) no livro a resposta é y'-y^2=0 eu também achei esse valor derivando, eu queria só achar 1 relação pra determinar essa proporcionalidade pra eliminar as constantes. Todas as questões eu resolvi, só não coloco as respostas que achei agora, pq faltam 4 questões pra fechar meu planejamento diário de estudos, caso possa me ajudar, me explique como eu chego ao resultado dessas equações y=cx+(c^2)(x^2) ((x-c1)^2)+(y-c2)^2=1 Muito obrigado pela sua resposta |
Autor: | jorgeluis [ 21 jan 2018, 12:36 ] |
Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais de primeira ordem |
jcbds, eu corrigi a b), estava com erro de sinal, e coloquei a resposta de acordo com o que você achou no livro. já as 2 abaixo, não consegui uma maneira de eliminar as constantes, se tiver a resposta, posta aqui pra gente, ok. outra coisa, a regra do forum é postar uma alínea por pergunta, ok! c) \(y=Cx+C^2x^2 {y}'=C+2C^2x {y}'=y C+2C^2x=Cx+C^2x^2\) dividindo a equação por C, temos: \(Cx^2+(1-2C)x-1={0}\) se, \(x \in \mathbb{R}\) então, \(\Delta\geq {0}\) logo, \(C\left [ -\frac{1}{2},+\frac{1}{2} \right ]\) consequentemente, \(C={0} \Leftrightarrow x=1\) d) \((x-C_1)^2+(y-C_2)^2=1\) para que possamos encontrar as raízes dessa equação, precisamos admitir y=0, logo, \(y=(x-C_1)^2+(-C_2)^2-1 y=(x-C_1)^2+{C_2}^2-1 {y}'=2(x-C_1)\) desenvolver \({y}'=y\) para eliminar as 2 constantes é que é difícil! |
Autor: | PierreQuadrado [ 01 fev 2018, 16:11 ] |
Título da Pergunta: | Re: Equações diferenciais de primeira ordem |
Jorge, Trata-se de encontrar equações diferenciais cujas solução sejam as funções propostas... No final tem que obter "equações diferenciais". Não se trata de obter valores de y de x ou de C. por exemplo no caso b), em que se tem \(y = \frac{1}{c-x^2},\) calculamos \(y' = \frac{2x}{(c-x^2)}\) e verificamos que \(y' = 2x y^2\). Então podemos concluir que a função dada é solução da equação diferencial de primeira ordem \(y' - 2x y^2 = 0.\) No caso de b) a solução do livro está errada (ou foi mal transcrita). |
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