Mostrar que uma função (com integrais) é solução de uma EDP
05 nov 2016, 22:45
Boa noite,
Estou fazendo a disciplina de EDP na faculdade e me deparei com um exercício que não estou conseguindo resolver. Tirei uma foto da questão e anexei no tópico, se alguém poder me ajudar, agradeceria muito.
Muito obrigado pela atenção.
Estou fazendo a disciplina de EDP na faculdade e me deparei com um exercício que não estou conseguindo resolver. Tirei uma foto da questão e anexei no tópico, se alguém poder me ajudar, agradeceria muito.
Muito obrigado pela atenção.
- Anexos
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- Exercício a ser resolvido
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Re: Mostrar que uma função (com integrais) é solução de uma EDP
06 nov 2016, 13:19
Tem apenas que verificar que a função u(x,t) definida pela série dada verifica a equação diferencial, assim como as condições iniciais e de fronteira. Poe exemplo,
\(u(x,0)= \sum_{n \ge 1} \varphi_n(0) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = \sum_{n \ge 1} 0 \cdot \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = 0\)
\(\partial_t u(x,0)= \sum_{n \ge 1} \varphi_n'(0) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = \sum_{n \ge 1} 0 \cdot \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = 0\)
\(u(0,t)= \sum_{n\ge 1} \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi \cdot 0}{L} = 0\)
\(u(L,t)= \sum_{n\ge 1} \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi \cdot L}{L} = 0\)
\(\partial^2_t u(x,t)=\sum_{n \ge 1} \varphi_n''(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
\(\vdots\)
Cálculo auxiliares:
\(\varphi(0) = \frac{1}{\omega_n} \int_0^0 (\cdots) d \xi = 0\)
\(\varphi_n(t) = \frac{1}{\omega_n}\left(\int_0^t F_n(\xi) \sin (\omega_n t) \cos (\omega_n \xi) d \xi - \int_0^t F_n(\xi)\cos(\omega_n t) \sin (\omega_n \xi) d \xi \right)\)
\(\varphi_n'(t) = \cdots \Rightarrow \varphi'(0) = 0\)
\(\vdots\)
\(u(x,0)= \sum_{n \ge 1} \varphi_n(0) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = \sum_{n \ge 1} 0 \cdot \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = 0\)
\(\partial_t u(x,0)= \sum_{n \ge 1} \varphi_n'(0) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = \sum_{n \ge 1} 0 \cdot \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = 0\)
\(u(0,t)= \sum_{n\ge 1} \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi \cdot 0}{L} = 0\)
\(u(L,t)= \sum_{n\ge 1} \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi \cdot L}{L} = 0\)
\(\partial^2_t u(x,t)=\sum_{n \ge 1} \varphi_n''(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
\(\vdots\)
Cálculo auxiliares:
\(\varphi(0) = \frac{1}{\omega_n} \int_0^0 (\cdots) d \xi = 0\)
\(\varphi_n(t) = \frac{1}{\omega_n}\left(\int_0^t F_n(\xi) \sin (\omega_n t) \cos (\omega_n \xi) d \xi - \int_0^t F_n(\xi)\cos(\omega_n t) \sin (\omega_n \xi) d \xi \right)\)
\(\varphi_n'(t) = \cdots \Rightarrow \varphi'(0) = 0\)
\(\vdots\)
Re: Mostrar que uma função (com integrais) é solução de uma EDP
06 nov 2016, 14:55
Muito obrigado pela resposta, entendi a ideia da resolução.
A minha maior dúvida é exatamente como eu trato as integrais que aparecem uma dentro da outra na hora de calcular as derivadas parciais de segunda ordem para verificar se u(x,t) é satisfaz a EDP.
A minha maior dúvida é exatamente como eu trato as integrais que aparecem uma dentro da outra na hora de calcular as derivadas parciais de segunda ordem para verificar se u(x,t) é satisfaz a EDP.
Re: Mostrar que uma função (com integrais) é solução de uma EDP [resolvida]
08 nov 2016, 11:20
Verifique que:
1. \(\varphi_n'(t)= \int_0^tF_n(\xi) \cos(\omega_n(t-\xi)) d \xi\)
2.\(\varphi''_n(t)=F_n(t)-\omega_n \int_0^tF_n(\xi) \sin (\omega_n(t-\xi)) d\xi = F_n(t) - \omega_n^2 \varphi_n(t)\)
Assim,
\(\partial^2_t u(x,t)= \sum_{n \ge 1} \varphi_n''(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = \sum_{n\ge 1} (F_n(t) - \omega_n^2 \varphi_n(t)) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)=
\sum_{n \ge 1} F_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) - \sum_{n\ge 1} \omega_n^2 \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
Por outro lado,
\(c^2\partial^2_{xx} u(x,t)= -\sum_{n \ge 1} \frac{n^2 \pi^2}{L^2} \cdot \frac{\omega_n^2 L^2}{n^2\pi^2}\varphi(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)= - \sum_{n \ge 1} \omega_n^2 \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
Juntando os dois resultados obtemos
\(\partial^2_t u = c^2\partial^2_x u +\sum_{n \ge 1}F_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
pelo que tudo se resume a mostrar que
\(F(x,t)=\sum_{n \ge 1}F_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
1. \(\varphi_n'(t)= \int_0^tF_n(\xi) \cos(\omega_n(t-\xi)) d \xi\)
2.\(\varphi''_n(t)=F_n(t)-\omega_n \int_0^tF_n(\xi) \sin (\omega_n(t-\xi)) d\xi = F_n(t) - \omega_n^2 \varphi_n(t)\)
Assim,
\(\partial^2_t u(x,t)= \sum_{n \ge 1} \varphi_n''(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) = \sum_{n\ge 1} (F_n(t) - \omega_n^2 \varphi_n(t)) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)=
\sum_{n \ge 1} F_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right) - \sum_{n\ge 1} \omega_n^2 \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
Por outro lado,
\(c^2\partial^2_{xx} u(x,t)= -\sum_{n \ge 1} \frac{n^2 \pi^2}{L^2} \cdot \frac{\omega_n^2 L^2}{n^2\pi^2}\varphi(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)= - \sum_{n \ge 1} \omega_n^2 \varphi_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
Juntando os dois resultados obtemos
\(\partial^2_t u = c^2\partial^2_x u +\sum_{n \ge 1}F_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)
pelo que tudo se resume a mostrar que
\(F(x,t)=\sum_{n \ge 1}F_n(t) \sin \left(\frac{n \pi x}{L}\right)\)