Equação Diferencial Ordinária de segunda ordem

[vitorvale]

Olá,

Gostaria de ver a resolução da questão que está em anexo, eu não sei como resolve esse tipo de equação.

Anexos

Questão da prova do mestrado em engenharia mecatronica

pergunta.jpg (95.46 KiB) Visualizado 999 vezes

[Sobolev]

Trata-se de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes... Vou analisar por exemplo a afirmação I.

Neste caso pretendemos resolver a eq. \(y''+5y'+6y = K\), em que K é uma constante. A solução é dada na forma
\(y = y_h + y_p\)
em que \(y_h\) é a solução geral da eq. homogénea \(y''+5y'+6y = 0\) e \(y_p\) é uma sol. particular da eq. completa.

1. Para determinar \(y_h\) basta determinar as raizes do polinómio \(D^2+5D+6{=}0\), que são D=-3 e D=-2. Sendo duas raizes reais de multiplicidade um, sabemos que
\(y_h = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t}\).

2. Para determinar \(y_h\), vamos ver se existe alguma solução constante da equação, isto é \(y_p = \tilde K\). Ora substituindo na eq. temos que
\((\tilde K) '' +5(\tilde K)' + 6 \tilde K = K \Leftrightarrow \tilde K= \frac K6\).

Assim,

\(y = C_1 e^{-2t} + C_2 e^{-3t} + \frac K6\)

pelo que a solução é da forma proposta e a afirmação I é verdadeira.