EDO - Não Exata demonstração.

[Geovane]

Preciso de ajuda na seguinte demonstração, não encontro a mesma em livros tradicionais.

Mostre que se

\(\frac{Nx-My}{xM-yN}\)= g(xy)

Isto é, g depende da quantidade xy, então a equação diferencial

M(x,y) + N(x,y)y' = 0

tem um fator integrante de forma μ(xy). Econtre uma formula geral para esse fator integrante.

Se alguém poder ajudar, ou mesmo indicar algum material no qual posso achar tópicos relacionados ao mesmo. Agradeço desde já.

[Sobolev]

Assumindo que tal factor existe, a equação \(\mu(xy) M + \mu(xy) N y' = 0\) deve ser exacta.Tentemos então calcular

\((\mu(xy)M)'_y - (\mu(xy)N)'_x = x \mu'(xy)M+\mu(xy) M_y - y\mu'(xy)N-\mu(xy) N_x = (xM-yN)\left(\mu'(xy)+\mu(xy) g(xy) \right)\)

Se escolhermos \(\mu\) como sendo a solução da equação diferencial \(\mu'(t)+\mu(t) g(t)=0\), teremos o nosso factor integrante.