Fórum de Matemática
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Estou tentando resolver O SEGUINTE pvi.
2*y*y''=3((y')^2) (1) y(0)=1 e y'(0)= 2
fazendo y'=p (2) e y''=p*p' (3)

substituindo (2) e (3) em (1)

p'- (3/2y)*p=0

RESOLVENDO:

P=y'= c*(y^(3/2))

E aplicando as condições iniciais p=2 e y=2, encontro uma condição impossivel.

FIZ ALGUMA COISA ERRADO? COMO DEVO PROCEDER...

Se considera que \(y'=p\) então \(y''=p'\). Se depois toma \(y'' = p p'\) então deve ter \(p' = p p'\), isto é, \(p'(1-p) = 0\). Ora isto significa que se pensar que p é pelo menos contínua, ela terá que ser uma função constante. Na verdade, como p(0)=y'(0) = 2, a única hipótese será ter p=2. Deste modo, temo y'=2 e y'' = 0, o que significa que \(y=2x+C\) ou, considerando que y(0)=1, \(y(x)=2x+1\).

Repare no entanto que todos estes cálculos não envolveram a equação diferencial!! A substituição foi tão restritiva que não pode encontrar soluções...

\(p*p''=y''\) vem de \(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}= \frac{d}{dx} (p(y(x))) = p \frac{dp}{dy}\)
assim \(p \frac{dp}{dy} =f(x,y)\) que é de primeira ordem em p.

Resolvi essa edo no http://www.wolframalpha.com/ e obtendo o seguinte resultado.
\(y(x)=\frac{c_{2}}{(x-c_{1})^{2}}\)

Com:
\(c_{2}=1 ,c _{1}=-1\)

Não consegui ver o passo a passo pois é pago.