Equações paramétricas de outras curvas

[msilva.araujo]

1 - Determinar uma representação paramétrica da curva:
e) x²+y²+z²=2t , z=y

Esta foi a única que não consegui fazer.

[Sobolev]

Tem quatro variáveis e duas equações, pelo que em principio terá uma parametrização de uma superfície de dimensão 2. Se decidir escolher arbitrariamente os valores de x e y, digamos \(x = u, y = v\), então \(z = y = v\) e a primeira equação virá \(u^2 + v^2+v^2 = 2t\), pelo que \(t=\frac 12 u^2 + v^2\).

Vê assim que um ponto genérico da superfície é da forma

\((u, v, v, \frac 12 u^2 + v^2), \quad u,v \in \mathbb{R}.\)

[msilva.araujo]

Desculpe eu escrevi errado, seria: e) x²+y²+z²=2y , z=y

Eu tentei substituir o z da primeira equação por y e ficou:
x²+y²+y²=2y

Reescrevendo ficou:
x²+2y²-2y=0

Aí é que vem o problema, completando quadrados eu vou cair numa elipse mas não estou sabendo finalizar

[Sobolev]

O principio é o mesmo... se temos três variáveis e duas equações devemos obter uma linha (dimensão 1). Se escolhermos \(y = t\), também devemos ter \(z=t\), já que \(z=y\). Substituindo na primeira equação ficamos com \(x+t^2+t^2 = 2t\), ou seja, \(x = 2t-2t^2\).

Assim, a curva é descrita parametricamente por

\(x = 2t - 2t^2, \quad y =t, \quad z = t.\)

Não tem mais o que finalizar, esta é a descrição paramétrica.