Função W-Lambert (ProductLog)

[Drako Amorim]

\(e^{x}=x^2\)

Pelo Wolfram vem que a solução real é:

\(x=-2W(\frac{1}{2})\)

Estudei este tipo de função mas não consigo manipular a equação de forma que possa isolar o x por meio da W(y).
Para quem não a conhece segue: http://2000clicks.com/mathhelp/BasicSimplifyingLambertWFunction.aspx

[Drako Amorim]

\(e^{x}=x^2\)

Pelo Wolfram vem que a solução real é:

\(x=-2W(\frac{1}{2})\)

Estudei este tipo de função mas não consigo manipular a equação de forma que possa isolar o x por meio da W(y).
Para quem não a conhece segue: http://2000clicks.com/mathhelp/BasicSimplifyingLambertWFunction.aspx

Consegui chegar a um resultado não-real:

\(e^{x}=x^{2}\)

\(e^{\frac{x}{2}}=x\)

\(xe^{-\frac{x}{2}
}=1\)

\(-\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}=-\frac{1}{2}\)

\(-\frac{x}{2}=W(-\frac{1}{2})\)

\(\therefore\)\(x=-2W(-\frac{1}{2})\)

Alguém sabe como obter algebricamente a solução exata real?

[Drako Amorim]

\(e^{x}=x^2\)

Pelo Wolfram vem que a solução real é:

\(x=-2W(\frac{1}{2})\)

Estudei este tipo de função mas não consigo manipular a equação de forma que possa isolar o x por meio da W(y).
Para quem não a conhece segue: http://2000clicks.com/mathhelp/BasicSimplifyingLambertWFunction.aspx

Consegui chegar a um resultado não-real:

\(e^{x}=x^{2}\)

\(e^{\frac{x}{2}}=x\)

\(xe^{-\frac{x}{2}
}=1\)

\(-\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}=-\frac{1}{2}\)

\(-\frac{x}{2}=W(-\frac{1}{2})\)

\(\therefore\)\(x=-2W(-\frac{1}{2})\)

Alguém sabe como obter algebricamente a solução exata real?

Ops, esqueci o +-, sendo uma solução real e outra não