Soma de Séries - série telescópica ou não

[jorgeluizsousavidal]

Calcule a soma da série \($\sum _{n=0}^{\infty }=\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}$\)

[Rui Carpentier]

A série não é telescópica.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \right)\)
A soma alternada dos inversos dos ímpares é bastante conhecida e o valor é \(\frac{\pi}{4}\).
Logo, \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(4n+1)(4n+3)}=\frac{\pi}{8}\).